Номер 22.19, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.19, страница 151.

22.19. Случайным образом на координатной плоскости $xOy$ выбирают точку $P(x; y)$, $0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$. Отрезок $OP$ является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность того, что периметр этого прямоугольника:

а) больше 20;

б) не больше 12;

в) меньше 4;

г) больше 10?

Данная задача относится к геометрической вероятности. Пространством элементарных исходов является множество точек $P(x; y)$ на координатной плоскости, удовлетворяющих условиям $0 \le x \le 4$ и $0 \le y \le 2$. Это множество представляет собой прямоугольник $G$ с вершинами в точках $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(4, 2)$ и $(0, 2)$.

Площадь этого прямоугольника (общая мера пространства исходов) равна:
$S_G = 4 \cdot 2 = 8$ кв. ед.

Отрезок $OP$, где $O$ — начало координат $(0, 0)$, является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Длины сторон этого прямоугольника равны координатам точки $P$, то есть $x$ и $y$.
Периметр $L$ этого прямоугольника вычисляется по формуле:
$L = 2(x + y)$

Вероятность события $A$ вычисляется как отношение площади $S_A$ области, благоприятствующей этому событию, к общей площади $S_G$:
$P(A) = \frac{S_A}{S_G}$

а) больше 20

Найдем вероятность того, что периметр больше 20. Условие записывается как:
$L > 20 \implies 2(x + y) > 20 \implies x + y > 10$.
В заданной области $G$ максимальное значение $x$ равно 4, а максимальное значение $y$ равно 2. Следовательно, максимальное значение суммы $x + y$ в этой области равно $4 + 2 = 6$.
Неравенство $x + y > 10$ не может быть выполнено ни для одной точки из области $G$. Это означает, что область, благоприятствующая данному событию, является пустым множеством, и ее площадь $S_A = 0$.
Вероятность этого события:
$P = \frac{0}{8} = 0$.
Ответ: 0.

б) не больше 12

Найдем вероятность того, что периметр не больше 12. Условие записывается как:
$L \le 12 \implies 2(x + y) \le 12 \implies x + y \le 6$.
Как мы уже установили, максимальное значение суммы $x + y$ в области $G$ равно 6. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ из области $G$ выполняется условие $x + y \le 6$.
Таким образом, область, благоприятствующая событию, совпадает со всей областью $G$, и ее площадь $S_A = S_G = 8$.
Вероятность этого события:
$P = \frac{8}{8} = 1$.
Ответ: 1.

в) меньше 4

Найдем вероятность того, что периметр меньше 4. Условие записывается как:
$L < 4 \implies 2(x + y) < 4 \implies x + y < 2$.
Нам нужно найти площадь области (обозначим ее $A$), определяемой системой неравенств:
$\begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ 0 \le y \le 2 \\ x + y < 2 \end{cases}$
Эта область представляет собой треугольник, ограниченный осями координат ($x=0$, $y=0$) и прямой $x + y = 2$. Вершины этого треугольника — $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 2)$. Этот треугольник полностью лежит внутри прямоугольника $G$.
Площадь этого треугольника (благоприятствующая область $S_A$):
$S_A = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ кв. ед.
Вероятность этого события:
$P = \frac{S_A}{S_G} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25$.
Ответ: 0,25.

г) больше 10?

Найдем вероятность того, что периметр больше 10. Условие записывается как:
$L > 10 \implies 2(x + y) > 10 \implies x + y > 5$.
Нам нужно найти площадь области $A$, определяемой системой неравенств:
$\begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ 0 \le y \le 2 \\ x + y > 5 \end{cases}$
Прямая $x + y = 5$ отсекает от прямоугольника $G$ небольшой треугольник в его правом верхнем углу. Найдем вершины этого треугольника. Они являются точками пересечения прямой $x + y = 5$ с границами прямоугольника ($x=4$ и $y=2$), а также точкой пересечения самих границ.
1. Пересечение с прямой $y=2$: $x + 2 = 5 \implies x = 3$. Точка $(3, 2)$.
2. Пересечение с прямой $x=4$: $4 + y = 5 \implies y = 1$. Точка $(4, 1)$.
3. Вершина самого прямоугольника $G$: $(4, 2)$.
Таким образом, благоприятствующая область $S_A$ — это треугольник с вершинами $(3, 2)$, $(4, 2)$ и $(4, 1)$. Это прямоугольный треугольник с катетами длиной $4 - 3 = 1$ и $2 - 1 = 1$.
Площадь этого треугольника:
$S_A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0,5$ кв. ед.
Вероятность этого события:
$P = \frac{S_A}{S_G} = \frac{0,5}{8} = \frac{1}{16} = 0,0625$.
Ответ: 0,0625.