Номер 22.21, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.21, страница 152.

22.21. Числа $p$ и $q$ произвольно выбирают из отрезка $[0; 1]$. Какова вероятность того, что у приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$:

а) есть хотя бы один корень (действительный или комплексный);

б) нет действительных корней;

в) есть два различных действительных корня;

г) есть хотя бы один положительный корень?

Для решения задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. Числа $p$ и $q$ произвольно и равномерно выбираются из отрезка $[0; 1]$. Это означает, что пара $(p, q)$ является случайной точкой, равномерно распределенной в единичном квадрате $K = \{(p, q) | 0 \le p \le 1, 0 \le q \le 1\}$ в плоскости $pq$. Площадь этого квадрата, представляющего пространство всех возможных исходов, равна $S(K) = 1 \times 1 = 1$. Вероятность любого события равна площади области, соответствующей этому событию, внутри этого квадрата.

Рассматривается приведённое квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$.

а) есть хотя бы один корень (действительный или комплексный)

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен степени $n \ge 1$ с действительными (или комплексными) коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней (с учетом кратности). Данное уравнение является квадратным (степень $n=2$), поэтому оно всегда имеет два корня в поле комплексных чисел. Эти корни могут быть действительными, если дискриминант неотрицателен, или комплексными, если дискриминант отрицателен. Таким образом, событие "у уравнения есть хотя бы один корень" является достоверным событием. Вероятность достоверного события равна 1.

Ответ: $1$

б) нет действительных корней

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен.$D = p^2 - 4q < 0$Это неравенство можно переписать в виде $p^2 < 4q$ или $q > \frac{p^2}{4}$.Нам нужно найти площадь области внутри единичного квадрата, где выполняется это условие. Эта область определяется системой неравенств:$ \begin{cases} 0 \le p \le 1 \\ 0 \le q \le 1 \\ q > p^2/4 \end{cases} $Данная область находится над параболой $q = p^2/4$ внутри единичного квадрата. Проще найти площадь дополняющей области (где есть действительные корни, то есть $D \ge 0$ или $q \le p^2/4$) и вычесть ее из общей площади квадрата, которая равна 1.Площадь области, где есть действительные корни:$S_{D \ge 0} = \int_0^1 \frac{p^2}{4} dp = \frac{1}{4} \left[ \frac{p^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{4} \left(\frac{1^3}{3} - 0\right) = \frac{1}{12}.$Тогда искомая площадь (и вероятность), где нет действительных корней, равна:$P(\text{нет действ. корней}) = 1 - S_{D \ge 0} = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}.$

Ответ: $\frac{11}{12}$

в) есть два различных действительных корня

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго положителен.$D = p^2 - 4q > 0$Это неравенство эквивалентно $q < \frac{p^2}{4}$.Мы ищем вероятность того, что случайная точка $(p, q)$ из единичного квадрата попадет в область, определяемую системой неравенств:$ \begin{cases} 0 \le p \le 1 \\ 0 \le q \le 1 \\ q < p^2/4 \end{cases} $Эта область находится под параболой $q = p^2/4$ внутри единичного квадрата. Площадь этой области и есть искомая вероятность. Эта площадь была вычислена в предыдущем пункте как $S_{D \ge 0}$. Так как площадь линии $q = p^2/4$ равна нулю, то $P(D>0) = P(D \ge 0)$.$P(\text{2 разл. действ. корня}) = \int_0^1 \frac{p^2}{4} dp = \frac{1}{4} \left[ \frac{p^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{12}.$

Ответ: $\frac{1}{12}$

г) есть хотя бы один положительный корень?

Проанализируем знаки корней уравнения. По условию, $p \in [0, 1]$ и $q \in [0, 1]$, следовательно $p \ge 0$ и $q \ge 0$.Предположим, что существует положительный корень $x_0 > 0$. Подставим его в уравнение:$x_0^2 + px_0 + q = 0$Поскольку $x_0 > 0$, $p \ge 0$ и $q \ge 0$, то каждое слагаемое в левой части уравнения неотрицательно: $x_0^2 > 0$, $px_0 \ge 0$, $q \ge 0$.Их сумма $x_0^2 + px_0 + q$ будет строго положительной, так как слагаемое $x_0^2$ строго больше нуля. Это противоречит тому, что $x_0$ является корнем, то есть равенство $x_0^2 + px_0 + q = 0$ не может выполняться.Единственный случай, когда сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, это когда каждое слагаемое равно нулю: $x_0^2 = 0$, $px_0 = 0$, $q = 0$. Отсюда следует, что $x_0 = 0$. Но мы предположили, что $x_0 > 0$.Таким образом, предположение о существовании положительного корня неверно. Уравнение $x^2 + px + q = 0$ при $p \ge 0, q \ge 0$ не может иметь положительных корней.Событие "есть хотя бы один положительный корень" является невозможным, и его вероятность равна 0.

Ответ: $0$