Номер 22.22, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.22, страница 152.

22.22. Отрезок единичной длины наудачу разбили на три отрезка. Какова вероятность того, что длина каждого отрезка будет:

а) больше $0.34$;

б) больше $0.25$;

в) меньше $0.32$;

г) меньше $0.5$?

Для решения этой задачи используется метод геометрической вероятности. Пусть отрезок единичной длины разбит на три части с длинами $x$, $y$ и $z$. Тогда должны выполняться условия: $x > 0$, $y > 0$, $z > 0$ и $x + y + z = 1$.

Множество всех возможных исходов можно представить как область на плоскости. Если мы отложим длину первого отрезка $x$ по одной оси, а второго $y$ по другой, то третий отрезок будет иметь длину $z = 1 - x - y$. Условия $x>0, y>0, z>0$ преобразуются в систему неравенств:

$x > 0$

$y > 0$

$1 - x - y > 0 \implies x + y < 1$

Эта система неравенств задает на плоскости $xy$ треугольник с вершинами в точках $(0,0)$, $(1,0)$ и $(0,1)$. Этот треугольник является пространством элементарных исходов. Его площадь $S_{общ}$ равна $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Вероятность любого события будет равна отношению площади области, соответствующей этому событию ($S_{бл}$), к общей площади пространства исходов: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}}$.

а) больше 0,34

Требуется найти вероятность того, что $x > 0,34$, $y > 0,34$ и $z > 0,34$. Если бы это условие выполнялось, то сумма длин отрезков была бы $x + y + z > 0,34 + 0,34 + 0,34 = 1,02$. Это противоречит основному условию $x + y + z = 1$. Следовательно, такое событие невозможно.

Ответ: Вероятность равна 0.

б) больше 0,25

Требуется найти вероятность того, что $x > 0,25$, $y > 0,25$ и $z > 0,25$. Обозначим $L = 0,25$. Условия для длин отрезков в координатах $x$ и $y$ будут выглядеть так:

$x > L$

$y > L$

$z > L \implies 1 - x - y > L \implies x + y < 1 - L$

Эти неравенства определяют на плоскости $xy$ треугольник, который является областью благоприятных исходов. Вершины этого треугольника находятся на пересечении прямых $x=L$, $y=L$ и $x+y=1-L$. Вершины имеют координаты $(L, L)$, $(L, 1-2L)$ и $(1-2L, L)$.

Это прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны $(1-2L) - L = 1-3L$.

Площадь благоприятной области $S_{бл}$ равна $\frac{1}{2}(1-3L)^2$.

Вероятность события: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{\frac{1}{2}(1-3L)^2}{\frac{1}{2}} = (1-3L)^2$.

Подставим значение $L=0,25$:

$P = (1 - 3 \cdot 0,25)^2 = (1 - 0,75)^2 = (0,25)^2 = 0,0625$.

Ответ: Вероятность равна 0,0625.

в) меньше 0,32

Требуется найти вероятность того, что $x < 0,32$, $y < 0,32$ и $z < 0,32$. Если бы это условие выполнялось, то сумма длин отрезков была бы $x + y + z < 0,32 + 0,32 + 0,32 = 0,96$. Это противоречит основному условию $x + y + z = 1$. Следовательно, такое событие невозможно.

Ответ: Вероятность равна 0.

г) меньше 0,5

Требуется найти вероятность того, что $x < 0,5$, $y < 0,5$ и $z < 0,5$. Обозначим $L = 0,5$. Условия для длин отрезков в координатах $x$ и $y$ будут выглядеть так:

$x < L$

$y < L$

$z < L \implies 1 - x - y < L \implies x + y > 1 - L$

Эти условия, $x>0, y>0, x < 0,5, y < 0,5$ и $x+y > 0,5$, определяют область благоприятных исходов. Эта область представляет собой треугольник с вершинами в точках $(0,5; 0)$, $(0; 0,5)$ и $(0,5; 0,5)$.

Это прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны $0,5$.

Площадь благоприятной области $S_{бл}$ равна $\frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot 0,5 = \frac{1}{8}$.

Вероятность события: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

(Интересно, что это условие совпадает с условием возможности построения треугольника из трех полученных отрезков).

Ответ: Вероятность равна 0,25.