Номер 22.20, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.20, страница 151.

22.20. Случайным образом на координатной плоскости $xOy$ выбирают точку $P(x; y)$, $0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$. Отрезок $OP$ является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность того, что площадь этого прямоугольника:

a) больше 9;

б) меньше 10;

в) меньше 2;

г) больше 4?

В данной задаче используется геометрическое определение вероятности. Пространством элементарных исходов является прямоугольник $\Omega$ на плоскости $xOy$, заданный неравенствами $0 \le x \le 4$ и $0 \le y \le 2$. Площадь этого прямоугольника (общая мера) равна $S_{\Omega} = 4 \cdot 2 = 8$.

Точка $P(x; y)$ выбирается случайным образом из этого прямоугольника. Отрезок $OP$ является диагональю прямоугольника с вершинами в точках $(0, 0)$, $(x, 0)$, $(0, y)$ и $(x, y)$. Стороны этого прямоугольника равны $x$ и $y$, а его площадь $A$ вычисляется по формуле $A = x \cdot y$.

Вероятность события определяется как отношение площади области, соответствующей этому событию (благоприятной области), к общей площади $S_{\Omega}$.

а) больше 9;

Нам нужно найти вероятность того, что площадь $A$ больше 9, то есть $x \cdot y > 9$. В области $\Omega$ координата $x$ принимает значения от 0 до 4, а $y$ - от 0 до 2. Максимально возможное значение площади $A$ равно $A_{max} = 4 \cdot 2 = 8$. Поскольку максимальная возможная площадь равна 8, она никогда не может быть больше 9. Это означает, что не существует ни одной точки $(x, y)$ в области $\Omega$, для которой выполнялось бы условие $x \cdot y > 9$. Площадь благоприятной области равна 0. Следовательно, вероятность этого события равна $P(A > 9) = \frac{0}{S_{\Omega}} = \frac{0}{8} = 0$.
Ответ: $0$.

б) меньше 10;

Нам нужно найти вероятность того, что площадь $A$ меньше 10, то есть $x \cdot y < 10$. Как мы установили в предыдущем пункте, максимальное значение площади $A$ для любой точки из области $\Omega$ равно 8. Поскольку $8 < 10$, для любой точки $(x, y)$ из области $\Omega$ условие $x \cdot y < 10$ всегда будет выполняться. Таким образом, благоприятная область совпадает со всей областью $\Omega$. Площадь благоприятной области равна $S_{\Omega} = 8$. Вероятность этого события равна $P(A < 10) = \frac{S_{\Omega}}{S_{\Omega}} = \frac{8}{8} = 1$.
Ответ: $1$.

в) меньше 2;

Нам нужно найти вероятность того, что площадь $A$ меньше 2, то есть $x \cdot y < 2$. Это неравенство можно переписать как $y < \frac{2}{x}$. Нам нужно найти площадь $S_{fav}$ области, ограниченной условиями $0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$ и $y < \frac{2}{x}$. Найдем точку пересечения гиперболы $y = \frac{2}{x}$ с границей прямоугольника $\Omega$. При $y=2$, имеем $2 = \frac{2}{x}$, откуда $x=1$. Точка пересечения с верхней границей - $(1, 2)$. При $x=4$, имеем $y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Точка пересечения с правой границей - $(4, \frac{1}{2})$. Разобьем область интегрирования на две части по $x=1$:
1. Для $0 \le x \le 1$, гипербола $y = \frac{2}{x}$ находится выше верхней границы $y=2$ (т.к. при $x \le 1$, $\frac{2}{x} \ge 2$). Таким образом, для всех точек в этой части прямоугольника условие $y < \frac{2}{x}$ выполняется (так как $y \le 2$). Эта часть представляет собой прямоугольник с площадью $S_1 = 1 \cdot 2 = 2$.
2. Для $1 < x \le 4$, благоприятная область ограничена сверху кривой $y = \frac{2}{x}$. Площадь этой области найдем с помощью интеграла: $S_2 = \int_{1}^{4} \frac{2}{x} dx = 2[\ln|x|]_{1}^{4} = 2(\ln(4) - \ln(1)) = 2(\ln(4) - 0) = 2\ln(4)$.
Общая площадь благоприятной области: $S_{fav} = S_1 + S_2 = 2 + 2\ln(4)$. Вероятность события: $P(A < 2) = \frac{S_{fav}}{S_{\Omega}} = \frac{2 + 2\ln(4)}{8} = \frac{1 + \ln(4)}{4}$.
Ответ: $\frac{1 + \ln(4)}{4}$.

г) больше 4?

Нам нужно найти вероятность того, что площадь $A$ больше 4, то есть $x \cdot y > 4$. Это неравенство можно переписать как $y > \frac{4}{x}$. Нам нужно найти площадь $S_{fav}$ области, ограниченной условиями $0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$ и $y > \frac{4}{x}$. Найдем точки пересечения гиперболы $y = \frac{4}{x}$ с границами прямоугольника $\Omega$. При $y=2$, имеем $2 = \frac{4}{x}$, откуда $x=2$. Точка пересечения с верхней границей - $(2, 2)$. При $x=4$, имеем $y = \frac{4}{4} = 1$. Точка пересечения с правой границей - $(4, 1)$. Благоприятная область (где $y > 4/x$) находится "над" гиперболой. Эта область определяется неравенствами $2 \le x \le 4$ и $\frac{4}{x} < y \le 2$. Площадь этой области можно найти, вычислив интеграл от разности верхней функции ($y=2$) и нижней ($y=4/x$) в пределах от $x=2$ до $x=4$: $S_{fav} = \int_{2}^{4} \left(2 - \frac{4}{x}\right) dx = [2x - 4\ln|x|]_{2}^{4} = (2 \cdot 4 - 4\ln(4)) - (2 \cdot 2 - 4\ln(2)) = (8 - 4\ln(4)) - (4 - 4\ln(2))$. $S_{fav} = 4 - 4\ln(4) + 4\ln(2)$. Используя свойство логарифма $\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$, получаем: $S_{fav} = 4 - 4(2\ln(2)) + 4\ln(2) = 4 - 8\ln(2) + 4\ln(2) = 4 - 4\ln(2)$. Вероятность события: $P(A > 4) = \frac{S_{fav}}{S_{\Omega}} = \frac{4 - 4\ln(2)}{8} = \frac{1 - \ln(2)}{2}$.
Ответ: $\frac{1 - \ln(2)}{2}$.