Номер 23.5, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.5, страница 153.

23.5. Какова вероятность того, что при восьми бросаниях монеты:

а) орёл выпадет ровно пять раз;

б) орлов и решек выпадет поровну;

в) решка выпадет ровно пять раз;

г) решка выпадет чаще орла?

Для решения данной задачи используется формула классической вероятности $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию. При восьми бросаниях монеты каждый бросок имеет два возможных исхода (орёл или решка). Следовательно, общее число всех возможных комбинаций исходов равно $N = 2^8 = 256$.

а) орёл выпадет ровно пять раз

Событие заключается в том, что из 8 бросков 5 раз выпадет орёл, а остальные $8 - 5 = 3$ раза — решка. Число способов, которыми можно выбрать 5 "успешных" бросков (выпадение орла) из 8, определяется числом сочетаний из 8 по 5 ($C_n^k$).

Число благоприятных исходов $m$ равно:$m = C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

Вероятность этого события $P(A)$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{56}{256}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8:$P(A) = \frac{56 \div 8}{256 \div 8} = \frac{7}{32}$.

Ответ: $\frac{7}{32}$.

б) орлов и решек выпадет поровну

Это событие означает, что за 8 бросков выпадет 4 орла и 4 решки. Число благоприятных исходов $m$ — это количество способов выбрать 4 броска для выпадения орла из 8.

Рассчитаем число сочетаний из 8 по 4:$m = C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{24} = 70$.

Вероятность этого события $P(B)$ равна:$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{70}{256}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:$P(B) = \frac{70 \div 2}{256 \div 2} = \frac{35}{128}$.

Ответ: $\frac{35}{128}$.

в) решка выпадет ровно пять раз

Данное событие полностью симметрично событию из пункта а), так как вероятность выпадения орла и решки одинакова ($p=0.5$). Если решка выпадает 5 раз, то орёл выпадает $8 - 5 = 3$ раза. Число благоприятных исходов равно количеству способов выбрать 5 бросков для выпадения решки из 8, то есть $C_8^5$.

Число благоприятных исходов $m$ такое же, как и в пункте а):$m = C_8^5 = 56$.

Соответственно, и вероятность события $P(C)$ будет такой же:$P(C) = \frac{m}{N} = \frac{56}{256} = \frac{7}{32}$.

Ответ: $\frac{7}{32}$.

г) решка выпадет чаще орла

Событие "решка выпадет чаще орла" означает, что количество выпавших решек ($k_Р$) больше количества выпавших орлов ($k_О$). Так как всего 8 бросков, $k_Р + k_О = 8$. Неравенство $k_Р > k_О$ можно переписать как $k_Р > 8 - k_Р$, что равносильно $2k_Р > 8$, или $k_Р > 4$. То есть, решка должна выпасть 5, 6, 7 или 8 раз.

Можно решить эту задачу, используя свойство симметрии. Рассмотрим три несовместных события, которые покрывают все возможные исходы:

1. Событие $A$: решек выпало больше, чем орлов ($k_Р > k_О$).

2. Событие $B$: орлов выпало больше, чем решек ($k_О > k_Р$).

3. Событие $C$: решек и орлов выпало поровну ($k_Р = k_О = 4$).

Сумма их вероятностей равна 1: $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.

Поскольку монета симметрична, вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки. Следовательно, вероятность события $A$ (решек больше) равна вероятности события $B$ (орлов больше): $P(A) = P(B)$.

Вероятность события $C$ (орлов и решек поровну) была найдена в пункте б): $P(C) = \frac{70}{256}$.

Подставим известные значения в формулу: $P(A) + P(A) + \frac{70}{256} = 1$, что дает $2P(A) = 1 - \frac{70}{256}$.

Выполним вычисления:$2P(A) = \frac{256}{256} - \frac{70}{256} = \frac{186}{256}$.

Теперь найдем искомую вероятность $P(A)$, разделив результат на 2:$P(A) = \frac{186}{256} \div 2 = \frac{93}{256}$.

Эта дробь является несократимой, так как числитель $93 = 3 \cdot 31$, а знаменатель $256 = 2^8$.

Ответ: $\frac{93}{256}$.