Номер 23.9, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.9, страница 153.

23.9. Вероятность успеха в одном испытании равна 0,2. Расположите следующие события в порядке возрастания вероятностей их наступления, предварительно вычислив эти вероятности:

$A_1$ — при двух повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае;

$A_2$ — при трёх повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае;

$A_3$ — при трёх повторениях испытания успех наступает ровно в двух случаях;

$A_4$ — при трёх повторениях испытания успех не наступает ни разу.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая позволяет вычислить вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие с постоянной вероятностью успеха $p$ наступит ровно $k$ раз:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q$ — вероятность неудачи.

По условию, вероятность успеха $p = 0,2$.

Тогда вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$.

Вычислим вероятности для каждого из указанных событий.

A₁ — при двух повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае

В этом случае число испытаний $n = 2$, а число успехов $k = 1$.

Вероятность события $A_1$ равна:

$P(A_1) = C_2^1 \cdot (0,2)^1 \cdot (0,8)^{2-1} = \frac{2!}{1!(2-1)!} \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 2 \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 0,32$

Ответ: $0,32$.

A₂ — при трёх повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае

Здесь число испытаний $n = 3$, а число успехов $k = 1$.

Вероятность события $A_2$ равна:

$P(A_2) = C_3^1 \cdot (0,2)^1 \cdot (0,8)^{3-1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} \cdot 0,2 \cdot (0,8)^2 = 3 \cdot 0,2 \cdot 0,64 = 0,384$

Ответ: $0,384$.

A₃ — при трёх повторениях испытания успех наступает ровно в двух случаях

Здесь число испытаний $n = 3$, а число успехов $k = 2$.

Вероятность события $A_3$ равна:

$P(A_3) = C_3^2 \cdot (0,2)^2 \cdot (0,8)^{3-2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} \cdot (0,2)^2 \cdot 0,8 = 3 \cdot 0,04 \cdot 0,8 = 0,096$

Ответ: $0,096$.

A₄ — при трёх повторениях испытания успех не наступает ни разу

Это означает, что число успехов $k = 0$ при $n = 3$ испытаниях.

Вероятность события $A_4$ равна:

$P(A_4) = C_3^0 \cdot (0,2)^0 \cdot (0,8)^{3-0} = \frac{3!}{0!(3-0)!} \cdot 1 \cdot (0,8)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,512 = 0,512$

Ответ: $0,512$.

Теперь расположим полученные вероятности в порядке возрастания:

$P(A_3) = 0,096$

$P(A_1) = 0,32$

$P(A_2) = 0,384$

$P(A_4) = 0,512$

Следовательно, события в порядке возрастания вероятностей их наступления располагаются следующим образом: $A_3, A_1, A_2, A_4$.

Ответ: $A_3, A_1, A_2, A_4$.