Номер 23.10, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.10, страница 154.

23.10. Стрелок не очень меток: вероятность поражения мишени при одном выстреле оценивается в 40%. Оцените (в процентах) вероятности наступления следующих событий при пяти выстрелах этого стрелка:

а) в мишень попадут ровно три пули;

б) в мишень не попадёт ровно одна пуля;

в) мишень останется нетронутой;

г) мишень будет поражена хотя бы раз.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события ровно $k$ раз в серии из $n$ независимых испытаний. Вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и равна $p$.

Формула Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где:
$n$ — общее число испытаний (выстрелов);
$k$ — число успешных исходов (попаданий);
$p$ — вероятность успеха в одном испытании (вероятность попадания);
$q$ — вероятность неудачи в одном испытании (вероятность промаха), $q = 1 - p$;
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний (количество способов выбрать $k$ успехов из $n$ испытаний).

В нашем случае:
Число выстрелов $n = 5$.
Вероятность попадания $p = 40\% = 0.4$.
Вероятность промаха $q = 1 - 0.4 = 0.6$.

а) в мишень попадут ровно три пули;
Здесь число попаданий $k = 3$.
Нам нужно найти $P_5(3)$.
Число сочетаний $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$.
Вероятность: $P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3} = 10 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2 = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.2304$.
В процентах: $0.2304 \cdot 100\% = 23.04\%$.
Ответ: 23,04 %.

б) в мишень не попадет ровно одна пуля;
Это означает, что остальные $5 - 1 = 4$ пули попали в мишень.
Здесь число попаданий $k = 4$.
Нам нужно найти $P_5(4)$.
Число сочетаний $C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = 5$.
Вероятность: $P_5(4) = C_5^4 \cdot p^4 \cdot q^{5-4} = 5 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^1 = 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 0.0768$.
В процентах: $0.0768 \cdot 100\% = 7.68\%$.
Ответ: 7,68 %.

в) мишень останется нетронутой;
Это означает, что было 0 попаданий.
Здесь число попаданий $k = 0$.
Нам нужно найти $P_5(0)$.
Число сочетаний $C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = 1$.
Вероятность: $P_5(0) = C_5^0 \cdot p^0 \cdot q^{5-0} = 1 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.07776 = 0.07776$.
В процентах: $0.07776 \cdot 100\% = 7.776\%$.
Ответ: 7,776 %.

г) мишень будет поражена хотя бы раз.
Событие "мишень поражена хотя бы раз" является противоположным событию "мишень останется нетронутой" (т.е. 0 попаданий).
Вероятность этого события можно найти, вычтя из 1 вероятность противоположного события, которую мы уже нашли в пункте (в).
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{ноль попаданий}) = 1 - P_5(0)$.
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - 0.07776 = 0.92224$.
В процентах: $0.92224 \cdot 100\% = 92.224\%$.
Ответ: 92,224 %.