Номер 23.14, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 23.14, страница 154.

23.14. Плоскость, проходящая через концы трёх рёбер куба, выходящих из одной вершины, отсекает от куба треугольную пирамиду. В кубе независимым образом поочерёдно выбирают три точки. Найдите вероятность того, что:

а) все точки окажутся вне пирамиды;

б) в пирамиде окажется ровно одна точка;

в) ровно одна точка окажется вне пирамиды;

г) хотя бы одна точка окажется вне пирамиды.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Сначала найдем соотношение объемов отсеченной пирамиды и всего куба.

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда объем куба $V_{куб} = a^3$. Плоскость, проходящая через концы трех ребер, выходящих из одной вершины, отсекает от куба правильную треугольную пирамиду (тетраэдр). Три ребра этой пирамиды, выходящие из общей вершины, являются ребрами куба, они взаимно перпендикулярны и имеют длину $a$.

Объем такой пирамиды вычисляется по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} h$. Если в качестве основания взять один из трех прямоугольных треугольников, образованных ребрами, например, тот, что лежит в плоскости $xy$ с катетами $a$ и $a$, то его площадь $S_{осн} = \frac{1}{2}a^2$. Высота пирамиды к этому основанию будет равна $a$. Тогда объем пирамиды: $V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2\right) \cdot a = \frac{1}{6}a^3$.

Объем оставшейся части куба, которая находится "вне пирамиды", равен: $V_{вне} = V_{куб} - V_{пир} = a^3 - \frac{1}{6}a^3 = \frac{5}{6}a^3$.

Вероятность того, что одна случайно выбранная в кубе точка окажется внутри пирамиды, равна отношению объемов: $p = \frac{V_{пир}}{V_{куб}} = \frac{\frac{1}{6}a^3}{a^3} = \frac{1}{6}$.

Вероятность того, что одна случайно выбранная точка окажется вне пирамиды, равна: $q = \frac{V_{вне}}{V_{куб}} = \frac{\frac{5}{6}a^3}{a^3} = \frac{5}{6}$. Заметим, что $p + q = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1$.

Поскольку три точки выбираются независимо, мы можем использовать формулу Бернулли для решения поставленных задач.

а) все точки окажутся вне пирамиды;

Это означает, что каждая из трех точек попала в область вне пирамиды. Вероятность этого для одной точки равна $q = \frac{5}{6}$. Так как события независимы, вероятности перемножаются.

$P_а = q \cdot q \cdot q = q^3 = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$.

Ответ: $\frac{125}{216}$

б) в пирамиде окажется ровно одна точка;

Это означает, что одна точка находится внутри пирамиды (с вероятностью $p=\frac{1}{6}$), а две другие — вне ее (с вероятностью $q=\frac{5}{6}$ каждая). Существует три варианта, какая именно из трех точек окажется внутри: первая, вторая или третья. По формуле Бернулли для $n=3$ испытаний и $k=1$ "успеха" (попадания в пирамиду):

$P_б = \binom{3}{1} p^1 q^{3-1} = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$.

Ответ: $\frac{25}{72}$

в) ровно одна точка окажется вне пирамиды;

Это означает, что одна точка находится вне пирамиды (с вероятностью $q=\frac{5}{6}$), а две другие — внутри нее (с вероятностью $p=\frac{1}{6}$ каждая). Это также задача на применение формулы Бернулли, где "успех" — это попадание точки вне пирамиды.

$P_в = \binom{3}{1} q^1 p^{3-1} = 3 \cdot \frac{5}{6} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 3 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{36} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$.

Ответ: $\frac{5}{72}$

г) хотя бы одна точка окажется вне пирамиды.

Событие "хотя бы одна точка окажется вне пирамиды" является противоположным событию "все три точки окажутся внутри пирамиды". Проще найти вероятность противоположного события и вычесть ее из 1.

Вероятность того, что все три точки окажутся внутри пирамиды: $P(\text{все внутри}) = p \cdot p \cdot p = p^3 = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}$.

Тогда искомая вероятность: $P_г = 1 - P(\text{все внутри}) = 1 - \frac{1}{216} = \frac{215}{216}$.

Ответ: $\frac{215}{216}$