Страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.8. В сводной таблице распределения данных некоторого измерения остались пустые места. Заполните их.

Для заполнения пустых мест в сводной таблице распределения данных необходимо использовать основные определения и формулы статистического анализа. Введем обозначения:

• Кратность ($n_i$) — это число, показывающее, сколько раз в выборке встретилась данная варианта (значение).
• Общий объем выборки (N) — это сумма всех кратностей, то есть общее число наблюдений: $N = \sum n_i$.
• Частота ($f_i$) — это отношение кратности варианты к общему объему выборки: $f_i = \frac{n_i}{N}$. Сумма всех частот всегда равна 1: $\sum f_i = 1$.
• Частота в процентах ($f_{i\%}$) — это частота, выраженная в процентах: $f_{i\%} = f_i \times 100\% = \frac{n_i}{N} \times 100\%$. Сумма всех частот в процентах всегда равна 100%: $\sum f_{i\%} = 100\%$.

Решение задачи состоит из нескольких шагов: сначала найдем общий объем выборки N, а затем последовательно рассчитаем все недостающие значения в таблице.

Нахождение общего объема выборки (N)

Для Варианты № 1 известны кратность $n_1 = 291$ и частота в процентах $f_{1\%} = 29,1\%$. Используем формулу для частоты в процентах, чтобы найти N:

$f_{1\%} = \frac{n_1}{N} \times 100\%$

Подставляем известные значения:

$29,1 = \frac{291}{N} \times 100$

Выражаем N из этого уравнения:

$N = \frac{291 \times 100}{29,1} = \frac{29100}{29,1} = 1000$

Таким образом, общий объем выборки составляет 1000. Это значение также является итоговой суммой в строке "Кратность".

Ответ: Общий объем выборки N = 1000.

Заполнение данных для Варианты № 1

Известно: $n_1 = 291$, $f_{1\%} = 29,1\%$. Необходимо найти частоту $f_1$.

Частоту $f_1$ можно рассчитать, разделив частоту в процентах на 100:

$f_1 = \frac{f_{1\%}}{100} = \frac{29,1}{100} = 0,291$

Ответ: Частота для Варианты № 1 равна 0,291.

Заполнение данных для Варианты № 2

Известно: $f_2 = 0,122$. Необходимо найти кратность $n_2$ и частоту в процентах $f_{2\%}$.

Находим кратность $n_2$, используя общий объем выборки $N=1000$:

$n_2 = f_2 \times N = 0,122 \times 1000 = 122$

Находим частоту в процентах $f_{2\%}$, умножая частоту на 100:

$f_{2\%} = f_2 \times 100\% = 0,122 \times 100\% = 12,2\%$

Ответ: Кратность для Варианты № 2 равна 122, частота в процентах — 12,2%.

Заполнение данных для Варианты № 3

Известно: $n_3 = 113$. Необходимо найти частоту $f_3$ и частоту в процентах $f_{3\%}$.

Находим частоту $f_3$, разделив кратность на общий объем выборки:

$f_3 = \frac{n_3}{N} = \frac{113}{1000} = 0,113$

Находим частоту в процентах $f_{3\%}$:

$f_{3\%} = f_3 \times 100\% = 0,113 \times 100\% = 11,3\%$

Ответ: Частота для Варианты № 3 равна 0,113, частота в процентах — 11,3%.

Заполнение данных для Варианты № 4

Известно: $f_{4\%} = 20,2\%$. Необходимо найти кратность $n_4$ и частоту $f_4$.

Находим частоту $f_4$:

$f_4 = \frac{f_{4\%}}{100} = \frac{20,2}{100} = 0,202$

Находим кратность $n_4$:

$n_4 = f_4 \times N = 0,202 \times 1000 = 202$

Ответ: Кратность для Варианты № 4 равна 202, частота — 0,202.

Заполнение данных для Варианты № 5

Известно: $f_{5\%} = 7,9\%$. Необходимо найти кратность $n_5$ и частоту $f_5$.

Находим частоту $f_5$:

$f_5 = \frac{f_{5\%}}{100} = \frac{7,9}{100} = 0,079$

Находим кратность $n_5$:

$n_5 = f_5 \times N = 0,079 \times 1000 = 79$

Ответ: Кратность для Варианты № 5 равна 79, частота — 0,079.

Заполнение данных для Варианты № 6

Известно: $f_6 = 0,193$. Необходимо найти кратность $n_6$ и частоту в процентах $f_{6\%}$.

Находим кратность $n_6$:

$n_6 = f_6 \times N = 0,193 \times 1000 = 193$

Находим частоту в процентах $f_{6\%}$:

$f_{6\%} = f_6 \times 100\% = 0,193 \times 100\% = 19,3\%$

Ответ: Кратность для Варианты № 6 равна 193, частота в процентах — 19,3%.

Заполнение итоговых сумм

Рассчитаем итоговые суммы в последнем столбце, чтобы проверить правильность вычислений.

1. Сумма кратностей: $\sum n_i = 291 + 122 + 113 + 202 + 79 + 193 = 1000$.

2. Сумма частот: $\sum f_i = 0,291 + 0,122 + 0,113 + 0,202 + 0,079 + 0,193 = 1,000$.

3. Сумма частот в процентах: $\sum f_{i\%} = 29,1 + 12,2 + 11,3 + 20,2 + 7,9 + 19,3 = 100,0\%$.

Все суммы сходятся с теоретическими значениями.

Ответ: Сумма кратностей равна 1000, сумма частот — 1, сумма частот в процентах — 100%.

Итоговая заполненная таблица:

24.9. Требуется восстановить сводную таблицу распределения данных некоторого измерения по следующей информации:

а) С какого столбца следует начать восстановление данных?

б) Составьте уравнение, связывающее данные, выбранные в пункте а).

в) Решите это уравнение и найдите значение $k$.

г) Заполните всю таблицу.

а) С какого столбца следует начать восстановление данных?

Для восстановления таблицы необходимо найти связь между ее строками. Обозначим кратность варианты как $n_i$, частоту как $f_i$, а частоту в процентах как $f_i\%$. Общее количество измерений (сумма всех кратностей) равно $N$.

Связь между этими величинами определяется формулами:
Частота: $f_i = \frac{n_i}{N}$
Частота в процентах: $f_i\% = f_i \times 100\% = \frac{n_i}{N} \times 100\%$

Из условия задачи, в столбце "Всего" указано, что сумма кратностей равна 100. Таким образом, $N = 100$.
Подставив это значение в формулу для процентной частоты, получаем:
$f_i\% = \frac{n_i}{100} \times 100\% = n_i$.
Это означает, что для каждой варианты числовое значение кратности ($n_i$) совпадает с числовым значением ее частоты в процентах ($f_i\%$).

В столбце "№ 2" приведены выражения и для кратности ($k$), и для частоты в процентах ($k^2 - 7k - 33$). Поскольку эти значения должны быть равны, мы можем составить уравнение с одной неизвестной $k$. В других столбцах недостаточно данных для составления уравнения.

Ответ: Восстановление данных следует начать со столбца "№ 2".

б) Составьте уравнение, связывающее данные, выбранные в пункте а).

Как установлено в пункте а), для любой варианты в данной таблице кратность численно равна частоте в процентах. Для варианты "№ 2" имеем:

Кратность: $n_2 = k$
Частота, %: $f_2\% = k^2 - 7k - 33$

Приравнивая эти два выражения, получаем искомое уравнение:

$k = k^2 - 7k - 33$

Ответ: Уравнение, связывающее данные из столбца "№ 2", имеет вид $k = k^2 - 7k - 33$.

в) Решите это уравнение и найдите значение k.

Преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$k^2 - 7k - k - 33 = 0$
$k^2 - 8k - 33 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196$
$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$

Найдем корни уравнения:

$k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 14}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$k_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 14}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Кратность (частота появления события) не может быть отрицательной величиной. Проверим полученные значения $k$ на это условие. В таблице есть кратности, выраженные через $k$: $n_2 = k$ и $n_4 = 2k$.

Если $k = -3$, то кратность варианты № 2 будет $n_2 = -3$, что невозможно.

Если $k = 11$, то кратности будут $n_2 = 11$ и $n_4 = 2 \cdot 11 = 22$. Эти значения являются допустимыми.

Ответ: $k = 11$.

г) Заполните всю таблицу.

Используя найденное значение $k=11$ и общее число измерений $N=100$, последовательно рассчитаем все недостающие значения в таблице.

1. Варианта № 1:
Частота, %: $f_1\% = 3k = 3 \cdot 11 = 33$.
Кратность: $n_1 = f_1\% = 33$.
Частота: $f_1 = n_1 / N = 33 / 100 = 0.33$.

2. Варианта № 2:
Кратность: $n_2 = k = 11$.
Частота, %: $f_2\% = n_2 = 11$.
Частота: $f_2 = n_2 / N = 11 / 100 = 0.11$.

3. Варианта № 4:
Кратность: $n_4 = 2k = 2 \cdot 11 = 22$.
Частота, %: $f_4\% = n_4 = 22$.
Частота: $f_4 = n_4 / N = 22 / 100 = 0.22$.

4. Варианта № 3:
Найдем кратность $n_3$, зная, что сумма всех кратностей равна 100:
$n_3 = N - (n_1 + n_2 + n_4) = 100 - (33 + 11 + 22) = 100 - 66 = 34$.
Частота, %: $f_3\% = n_3 = 34$.
Частота: $f_3 = n_3 / N = 34 / 100 = 0.34$.

5. Столбец "Всего":
Сумма кратностей: $33+11+34+22 = 100$.
Сумма частот: $0.33+0.11+0.34+0.22 = 1.00$.
Сумма частот, %: $33+11+34+22 = 100$.

Ответ:

24.10. Дана сводная таблица распределения результатов некоторого измерения:

a) Найдите $x$.

б) Найдите $y$.

в) Восстановите всю таблицу.

г) Найдите моду этого распределения.

Для решения задачи воспользуемся основными понятиями статистики.
Кратность (или абсолютная частота) варианты — это число, которое показывает, сколько раз эта варианта встретилась в совокупности данных. Обозначим кратность для варианты $i$ как $k_i$.
Объем совокупности $N$ — это сумма всех кратностей. В данной задаче $N = 50$.
Частота (или относительная частота) варианты — это отношение кратности варианты к объему совокупности: $f_i = \frac{k_i}{N}$. Сумма всех частот равна 1.
Частота в процентах — это относительная частота, умноженная на 100: $p_i = f_i \times 100\% = \frac{k_i}{N} \times 100\%$. Сумма всех процентных частот равна 100%.

Для нашей задачи, где $N=50$, связь между кратностью $k_i$ и частотой в процентах $p_i$ выражается формулой:
$p_i = \frac{k_i}{50} \times 100 = 2k_i$.
Это ключевое соотношение для нахождения неизвестных $x$ и $y$.

а) Найдите x.

Для варианты № 2 из таблицы известны кратность $k_2 = x$ и частота в процентах $p_2 = 23x - 105$.
Используя выведенное соотношение $p_2 = 2k_2$, составим уравнение:
$23x - 105 = 2x$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:
$23x - 2x = 105$
$21x = 105$
$x = \frac{105}{21}$
$x = 5$
Проверим: кратность $k_2 = 5$. Частота в процентах $p_2 = 2 \times 5 = 10\%$. По формуле из таблицы: $p_2 = 23(5) - 105 = 115 - 105 = 10\%$. Значения совпадают.
Ответ: $x=5$.

б) Найдите y.

Для варианты № 3 из таблицы известны кратность $k_3 = y$ и частота в процентах $p_3 = y^2 - y - 70$.
Используя соотношение $p_3 = 2k_3$, составим уравнение:
$y^2 - y - 70 = 2y$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$y^2 - y - 2y - 70 = 0$
$y^2 - 3y - 70 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: ищем два числа, произведение которых равно -70, а сумма равна 3. Это числа 10 и -7.
Корни уравнения: $y_1 = 10$ и $y_2 = -7$.
Так как $y$ представляет собой кратность (количество повторений варианты), это значение не может быть отрицательным. Следовательно, единственно возможный корень — это $y=10$.
Проверим: кратность $k_3 = 10$. Частота в процентах $p_3 = 2 \times 10 = 20\%$. По формуле из таблицы: $p_3 = 10^2 - 10 - 70 = 100 - 10 - 70 = 20\%$. Значения совпадают.
Ответ: $y=10$.

в) Восстановите всю таблицу.

Зная $x=5$ и $y=10$, а также общий объем совокупности $N=50$, мы можем найти все недостающие значения в таблице.
1. Кратности ($k_i$):
- Для варианты № 2: $k_2 = x = 5$.
- Для варианты № 3: $k_3 = y = 10$.
- Для варианты № 4: $k_4 = x + y = 5 + 10 = 15$.
- Сумма всех кратностей равна 50: $k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 50$.
- Для варианты № 1: $k_1 + 5 + 10 + 15 = 50 \Rightarrow k_1 + 30 = 50 \Rightarrow k_1 = 20$.

2. Частоты ($f_i = k_i/N$):
- Для варианты № 1: $f_1 = \frac{20}{50} = 0.4$.
- Для варианты № 2: $f_2 = \frac{5}{50} = 0.1$.
- Для варианты № 3: $f_3 = \frac{10}{50} = 0.2$.
- Для варианты № 4: $f_4 = \frac{15}{50} = 0.3$.
- Сумма частот: $0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.3 = 1$.

3. Частоты в процентах ($p_i = 2k_i$):
- Для варианты № 1: $p_1 = 2 \times 20 = 40\%$.
- Для варианты № 2: $p_2 = 2 \times 5 = 10\%$.
- Для варианты № 3: $p_3 = 2 \times 10 = 20\%$.
- Для варианты № 4: $p_4 = 2 \times 15 = 30\%$.
- Сумма частот в процентах: $40 + 10 + 20 + 30 = 100\%$.

Ответ: Восстановленная таблица выглядит следующим образом:

г) Найдите моду этого распределения.

Мода статистического распределения — это варианта, имеющая наибольшую кратность (встречающаяся чаще всего).
Сравним кратности всех вариант:
- $k_1 = 20$
- $k_2 = 5$
- $k_3 = 10$
- $k_4 = 15$
Наибольшая кратность равна 20, и она соответствует варианте № 1.
Ответ: Модой распределения является варианта № 1.