Страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

26.1. Равносильно ли уравнение $2^x = 256$ уравнению:

a) $\log_2 x = 3$;

б) $x^2 - 9x + 8 = 0$;

в) $3x^2 - 24x = 0$;

г) $\frac{16}{x} = 2$?

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Чтобы определить равносильность, сначала найдем решение исходного уравнения $2^x = 256$.

Представим число 256 в виде степени с основанием 2: $256 = 2^8$.

Тогда уравнение можно переписать в виде $2^x = 2^8$.

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны: $x=8$.

Таким образом, множество решений исходного уравнения — $\{8\}$. Теперь найдем решения для каждого из предложенных уравнений и сравним их с полученным.

а) $\log_2 x = 3$

Это логарифмическое уравнение. По определению логарифма, оно эквивалентно уравнению $x = 2^3$.

Вычисляем значение: $x = 8$.

Множество решений этого уравнения — $\{8\}$. Поскольку множества решений совпадают, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильно.

б) $x^2 - 9x + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $9$, а их произведение равно $8$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.

В качестве альтернативы, найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 7}{2}$.

$x_1 = \frac{9-7}{2} = 1$, $x_2 = \frac{9+7}{2} = 8$.

Множество решений этого уравнения — $\{1, 8\}$. Оно не совпадает с множеством $\{8\}$, так как содержит дополнительный корень $x=1$. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильно.

в) $3x^2 - 24x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 8) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 8 = 0$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Множество решений этого уравнения — $\{0, 8\}$. Оно не совпадает с множеством $\{8\}$, так как содержит дополнительный корень $x=0$. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильно.

г) $\frac{16}{x} = 2$

Это дробно-рациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$ (с учетом ОДЗ):

$16 = 2x$.

Отсюда находим $x = \frac{16}{2} = 8$.

Найденный корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ.

Множество решений этого уравнения — $\{8\}$. Поскольку множества решений совпадают, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильно.

26.2. Равносильно ли уравнение $ \sin x = 0 $ уравнению:

a) $ \cos x = 1; $

б) $ \operatorname{tg} x = 0; $

в) $ \cos 2x = 1; $

г) $ \sqrt{x - 1} \cdot \sin x = 0? $

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы ответить на вопрос, нужно найти множества решений для каждого уравнения и сравнить их с множеством решений исходного уравнения `sin(x) = 0`.

Решение исходного уравнения `sin(x) = 0` — это `x = \pi n`, где `n` — любое целое число (`n \in \mathbb{Z}`). Множество решений представляет собой набор точек `\{..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...\}`.

а) Равносильно ли уравнение `sin(x) = 0` уравнению `cos(x) = 1`?

Решим уравнение `cos(x) = 1`. Его решениями является серия корней `x = 2\pi k`, где `k \in \mathbb{Z}`. Множество решений этого уравнения: `\{..., -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, ...\}`.Сравнивая множества решений, видим, что они не совпадают. Например, `x = \pi` является решением уравнения `sin(x) = 0`, но не является решением уравнения `cos(x) = 1`, поскольку `cos(\pi) = -1 \ne 1`. Таким образом, уравнения не равносильны.

Ответ: нет.

б) Равносильно ли уравнение `sin(x) = 0` уравнению `tg(x) = 0`?

Уравнение `tg(x) = 0` определяется на множестве, где `cos(x) \ne 0`, то есть `x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k` для `k \in \mathbb{Z}`. Уравнение `tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} = 0` равносильно тому, что `sin(x) = 0` при условии, что `cos(x) \ne 0`.Решениями `sin(x) = 0` являются `x = \pi n` для `n \in \mathbb{Z}`. Для этих значений `x` косинус равен `cos(\pi n) = (-1)^n`. Поскольку `(-1)^n` никогда не равно нулю, все решения уравнения `sin(x) = 0` входят в область определения тангенса и являются решениями уравнения `tg(x) = 0`.Следовательно, множества решений обоих уравнений совпадают.

Ответ: да.

в) Равносильно ли уравнение `sin(x) = 0` уравнению `cos(2x) = 1`?

Решим уравнение `cos(2x) = 1`. Общее решение для `cos(y) = 1` есть `y = 2\pi k`, где `k \in \mathbb{Z}`. В нашем случае `y = 2x`, поэтому `2x = 2\pi k`, откуда `x = \pi k`, где `k \in \mathbb{Z}`.Это множество решений `\{..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...\}` в точности совпадает с множеством решений уравнения `sin(x) = 0`.Также можно преобразовать уравнение, используя формулу косинуса двойного угла: `cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)`.`1 - 2sin^2(x) = 1``-2sin^2(x) = 0``sin(x) = 0`Поскольку одно уравнение преобразуется в другое равносильными переходами, они равносильны.

Ответ: да.

г) Равносильно ли уравнение `sin(x) = 0` уравнению `\sqrt{x-1} \cdot sin(x) = 0`?

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения `\sqrt{x-1} \cdot sin(x) = 0`. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: `x - 1 \ge 0`, то есть `x \ge 1`.Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю (а другой при этом существует).1. `\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1`. Это значение удовлетворяет ОДЗ.2. `sin(x) = 0 \implies x = \pi n`, где `n \in \mathbb{Z}`. Из этих решений нужно выбрать те, что удовлетворяют ОДЗ `x \ge 1`.`\pi n \ge 1 \implies n \ge \frac{1}{\pi}`. Так как `\frac{1}{\pi} \approx 0.318` и `n` целое, то `n` может быть `1, 2, 3, ...`.Таким образом, множество решений второго уравнения — это `\{1\} \cup \{\pi, 2\pi, 3\pi, ...\}`.Множество решений первого уравнения `sin(x) = 0` — `\{\pi n | n \in \mathbb{Z}\}`.Эти множества не совпадают. Например, `x=0` является решением `sin(x)=0`, но не входит в ОДЗ второго уравнения. А `x=1` является решением второго уравнения, но не является решением первого, т.к. `sin(1) \ne 0`. Уравнения не равносильны.

Ответ: нет.

26.3. Придумайте три уравнения, равносильных уравнению:

а) $\sqrt{2x - 1} = 3;$

б) $\cos x = 3;$

в) $\lg x^2 = 4;$

г) $x^{\frac{3}{5}} = -1.$

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными. Чтобы придумать равносильные уравнения, сначала найдем корни исходного уравнения, а затем составим новые уравнения с таким же множеством корней.

а) Найдем корень уравнения $\sqrt{2x - 1} = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $2x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 0.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как обе части неотрицательны: $(\sqrt{2x - 1})^2 = 3^2$
$2x - 1 = 9$
$2x = 10$
$x = 5$.
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень $x=5$. Теперь придумаем три уравнения, у которых также есть только один корень $x=5$.
1. Простое линейное уравнение: $x - 5 = 0$.
2. Уравнение, полученное на одном из шагов решения: $2x = 10$.
3. Квадратное уравнение с одним корнем: $(x-5)^2 = 0$.
Ответ: $x - 5 = 0$; $2x = 10$; $(x-5)^2 = 0$.

б) Рассмотрим уравнение $\cos x = 3$.
Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$. Поскольку число 3 не принадлежит этому отрезку, данное уравнение не имеет корней. Следовательно, нам нужно придумать три любых уравнения, которые также не имеют решений.
1. Уравнение, где квадрат действительного числа равен отрицательному числу: $x^2 = -1$.
2. Тригонометрическое уравнение, где значение функции выходит за область значений: $\sin x = 2$.
3. Уравнение, где модуль равен отрицательному числу: $|x| = -4$.
Ответ: $x^2 = -1$; $\sin x = 2$; $|x| = -4$.

в) Найдем корни уравнения $\lg x^2 = 4$.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным, $x^2 > 0$, что выполняется для всех $x \ne 0$.
По определению десятичного логарифма: $x^2 = 10^4$
$x^2 = 10000$
$x = \pm \sqrt{10000}$
$x_1 = 100$, $x_2 = -100$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Таким образом, множество корней исходного уравнения — $\{-100, 100\}$. Придумаем три уравнения с таким же множеством корней.
1. Уравнение, полученное в процессе решения: $x^2 = 10000$.
2. Уравнение с модулем: $|x| = 100$.
3. Эквивалентное логарифмическое уравнение, используя свойство $\lg a^2 = 2 \lg|a|$: $2 \lg|x| = 4$.
Ответ: $x^2 = 10000$; $|x| = 100$; $2 \lg|x| = 4$.

г) Найдем корень уравнения $x^{\frac{3}{5}} = -1$.
Степенная функция с дробным показателем $m/n$, где $n$ — нечетное число, определена для всех действительных $x$. Выражение можно записать как $(\sqrt[5]{x})^3 = -1$.
Решим уравнение: $(\sqrt[5]{x})^3 = -1$
Извлечем кубический корень из обеих частей: $\sqrt[5]{x} = \sqrt[3]{-1}$
$\sqrt[5]{x} = -1$
Возведем обе части в пятую степень: $x = (-1)^5$
$x = -1$.
Проверка: $(-1)^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{-1})^3 = (-1)^3 = -1$. Корень найден верно. Уравнение имеет единственный корень $x=-1$. Придумаем три уравнения, которые также имеют только корень $x=-1$.
1. Простое линейное уравнение: $x + 1 = 0$.
2. Уравнение, полученное в ходе решения: $x^3 = -1$.
3. Уравнение с корнем нечетной степени: $\sqrt[3]{x} = -1$.
Ответ: $x + 1 = 0$; $x^3 = -1$; $\sqrt[3]{x} = -1$.

26.4. Укажите уравнение-следствие для уравнения:

а) $\sqrt{7x + 3} = x;$

б) $\log_2 (x - 1) - \log_2 x = 0;$

в) $\sin (\pi - x) \cdot \cot x = -0,5;$

г) $\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \cdot \tan x = 0.$

а) Исходное уравнение: $ \sqrt{7x + 3} = x $. Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части уравнения в квадрат. Эта операция не является равносильной и может привести к появлению посторонних корней, поэтому полученное уравнение будет являться следствием исходного.
$ (\sqrt{7x + 3})^2 = x^2 $
$ 7x + 3 = x^2 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$ x^2 - 7x - 3 = 0 $.
Это и есть уравнение-следствие.
Ответ: $ x^2 - 7x - 3 = 0 $.

б) Исходное уравнение: $ \log_2(x - 1) - \log_2 x = 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется системами неравенств $ x - 1 > 0 $ и $ x > 0 $, что дает $ x > 1 $.
Перенесем один из логарифмов в правую часть:
$ \log_2(x - 1) = \log_2 x $.
Так как логарифмическая функция является монотонной, равенство логарифмов с одинаковым основанием влечет за собой равенство их аргументов. Это преобразование приводит к уравнению-следствию:
$ x - 1 = x $.
Заметим, что это уравнение не имеет решений, как и исходное.
Ответ: $ x - 1 = x $.

в) Исходное уравнение: $ \sin(\pi - x) \cdot \ctg x = -0,5 $.
ОДЗ: $ \ctg x $ существует, если $ x \ne \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Применим формулу приведения $ \sin(\pi - x) = \sin x $ и определение котангенса $ \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$ \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -0,5 $.
В области допустимых значений $ \sin x \ne 0 $, поэтому мы можем сократить $ \sin x $ в числителе и знаменателе. Это преобразование приводит к уравнению-следствию, которое может иметь более широкое множество решений (хотя в данном случае множества решений совпадают).
$ \cos x = -0,5 $.
Ответ: $ \cos x = -0,5 $.

г) Исходное уравнение: $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \cdot \tg x = 0 $.
ОДЗ: $ \tg x $ существует, если $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Применим формулу приведения $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x $ и определение тангенса $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $.
Подставим эти выражения в уравнение:
$ \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 0 $.
В области допустимых значений $ \cos x \ne 0 $, поэтому мы можем сократить $ \cos x $. Это преобразование дает уравнение-следствие.
$ \sin x = 0 $.
Ответ: $ \sin x = 0 $.

26.5. Объясните, почему равносильны уравнения:

a) $x^{37} - 12x^2 + 1 = 0$ и $x^{37} + 1 = 12x^2$;

б) $\sqrt[5]{x^2 - 2x - 3} = 2$ и $x^2 - 2x - 3 = 32$.

а) Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот.

Рассмотрим первое уравнение: $x^{37} - 12x^2 + 1 = 0$.

Второе уравнение $x^{37} + 1 = 12x^2$ получается из первого путем переноса слагаемого $-12x^2$ из левой части уравнения в правую с изменением знака на противоположный. Эта операция равносильна прибавлению к обеим частям уравнения одного и того же выражения $12x^2$, которое определено для любого значения $x$.

$(x^{37} - 12x^2 + 1) + 12x^2 = 0 + 12x^2$

$x^{37} + 1 = 12x^2$

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком является равносильным преобразованием. Это означает, что данное преобразование не изменяет множество корней уравнения. Таким образом, исходные уравнения имеют одинаковые множества решений, а значит, они равносильны.

Ответ: Второе уравнение получено из первого переносом слагаемого $-12x^2$ из левой части в правую с противоположным знаком. Такое преобразование является равносильным, поэтому уравнения имеют одинаковые множества решений, то есть равносильны.

б) Рассмотрим первое уравнение: $\sqrt[5]{x^2 - 2x - 3} = 2$.

Чтобы получить из него второе уравнение $x^2 - 2x - 3 = 32$, необходимо возвести обе части первого уравнения в пятую степень:

$(\sqrt[5]{x^2 - 2x - 3})^5 = 2^5$

$x^2 - 2x - 3 = 32$

Преобразование, заключающееся в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень, является равносильным. Это свойство следует из того, что функция $y = t^n$ для любого нечетного натурального $n$ (в данном случае $n=5$) является строго монотонной на всей числовой оси. Это гарантирует, что равенство $A = B$ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется равенство $A^n = B^n$.

Важно отметить, что область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ при этом преобразовании не изменяется, так как корень нечетной степени (пятой) определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Поэтому никаких дополнительных ограничений на $x$ не возникает.

Поскольку второе уравнение получено из первого с помощью равносильного преобразования, их множества корней совпадают, и, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: Второе уравнение получено из первого возведением обеих его частей в пятую (нечетную) степень. Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием, поэтому уравнения равносильны.

26.6. Равносильны ли уравнения:

a) $\sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3}$ и $2x^2 + 2 = x^4 + 3$;

б) $\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1$ и $\sin^2 x = 0$?

а) Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Рассмотрим уравнения $\sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3}$ и $2x^2 + 2 = x^4 + 3$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения. Для этого выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными.
1) $2x^2 + 2 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $2x^2 \ge 0$, и $2x^2 + 2 \ge 2$. Неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.
2) $x^4 + 3 \ge 0$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $x^4 + 3 \ge 3$. Неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.
Таким образом, ОДЗ первого уравнения — это множество всех действительных чисел.
На всей ОДЗ обе части уравнения $\sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3}$ неотрицательны, поэтому возведение обеих частей в квадрат является равносильным преобразованием (то есть не приводит к потере корней или появлению посторонних корней).
$(\sqrt{2x^2 + 2})^2 = (\sqrt{x^4 + 3})^2$
$2x^2 + 2 = x^4 + 3$
Мы получили второе уравнение. Его ОДЗ — также множество всех действительных чисел, так как это полиномиальное уравнение.
Поскольку первое уравнение с помощью равносильного преобразования приводится ко второму, а их области определения совпадают, уравнения равносильны.
Для полной уверенности можно найти корни. Преобразуем второе уравнение: $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$). Получим $y^2 - 2y + 1 = 0$, или $(y-1)^2 = 0$. Отсюда $y=1$. Возвращаясь к замене, имеем $x^2 = 1$, что дает корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Оба этих корня принадлежат ОДЗ обоих уравнений.
Ответ: да, уравнения равносильны.

б) Рассмотрим уравнения $\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1$ и $\sin^2 x = 0$.
Определим ОДЗ для первого уравнения. Выражение под корнем четвертой (четной) степени должно быть неотрицательным.
Для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \sin^2 x \le 1$. Тогда для подкоренного выражения имеем: $1 \le \sin^2 x + 1 \le 2$. Так как оно всегда положительно, ОДЗ первого уравнения — это множество всех действительных чисел, $x \in \mathbb{R}$.
Обе части уравнения $\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1$ неотрицательны, поэтому возведение в четвертую степень будет равносильным преобразованием.
$(\sqrt[4]{\sin^2 x + 1})^4 = 1^4$
$\sin^2 x + 1 = 1$
$\sin^2 x = 0$
Полученное уравнение в точности совпадает со вторым данным уравнением. Его ОДЗ — также все действительные числа.
Поскольку первое уравнение путем равносильных преобразований приводится ко второму и их ОДЗ совпадают, эти уравнения равносильны.
Решения уравнения $\sin^2 x = 0$ эквивалентны решениям уравнения $\sin x = 0$, то есть $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это общее множество решений для обоих уравнений.
Ответ: да, уравнения равносильны.