Номер 26.5, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.5, страница 165.

26.5. Объясните, почему равносильны уравнения:

a) $x^{37} - 12x^2 + 1 = 0$ и $x^{37} + 1 = 12x^2$;

б) $\sqrt[5]{x^2 - 2x - 3} = 2$ и $x^2 - 2x - 3 = 32$.

а) Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот.

Рассмотрим первое уравнение: $x^{37} - 12x^2 + 1 = 0$.

Второе уравнение $x^{37} + 1 = 12x^2$ получается из первого путем переноса слагаемого $-12x^2$ из левой части уравнения в правую с изменением знака на противоположный. Эта операция равносильна прибавлению к обеим частям уравнения одного и того же выражения $12x^2$, которое определено для любого значения $x$.

$(x^{37} - 12x^2 + 1) + 12x^2 = 0 + 12x^2$

$x^{37} + 1 = 12x^2$

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком является равносильным преобразованием. Это означает, что данное преобразование не изменяет множество корней уравнения. Таким образом, исходные уравнения имеют одинаковые множества решений, а значит, они равносильны.

Ответ: Второе уравнение получено из первого переносом слагаемого $-12x^2$ из левой части в правую с противоположным знаком. Такое преобразование является равносильным, поэтому уравнения имеют одинаковые множества решений, то есть равносильны.

б) Рассмотрим первое уравнение: $\sqrt[5]{x^2 - 2x - 3} = 2$.

Чтобы получить из него второе уравнение $x^2 - 2x - 3 = 32$, необходимо возвести обе части первого уравнения в пятую степень:

$(\sqrt[5]{x^2 - 2x - 3})^5 = 2^5$

$x^2 - 2x - 3 = 32$

Преобразование, заключающееся в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень, является равносильным. Это свойство следует из того, что функция $y = t^n$ для любого нечетного натурального $n$ (в данном случае $n=5$) является строго монотонной на всей числовой оси. Это гарантирует, что равенство $A = B$ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется равенство $A^n = B^n$.

Важно отметить, что область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ при этом преобразовании не изменяется, так как корень нечетной степени (пятой) определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Поэтому никаких дополнительных ограничений на $x$ не возникает.

Поскольку второе уравнение получено из первого с помощью равносильного преобразования, их множества корней совпадают, и, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: Второе уравнение получено из первого возведением обеих его частей в пятую (нечетную) степень. Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием, поэтому уравнения равносильны.