Номер 26.11, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.11, страница 166.

Решите уравнение:

26.11. a) $\sqrt{7x - 6} = x;$

б) $x + 3 = \sqrt{2x + 9};$

в) $\sqrt{6x - 11} = x - 1;$

г) $-x - 5 = \sqrt{7x + 23}.$

а) $\sqrt{7x-6} = x$

Для решения иррационального уравнения возведем обе его части в квадрат. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ).

1. ОДЗ:
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $7x - 6 \ge 0$, что дает $x \ge \frac{6}{7}$.
Так как квадратный корень по определению является неотрицательной величиной, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Объединяя эти два условия, получаем итоговое ОДЗ: $x \ge \frac{6}{7}$.

2. Решение уравнения:
Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{7x-6})^2 = x^2$
$7x - 6 = x^2$
Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 7x + 6 = 0$

3. Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней.
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}$.
$x_1 = \frac{7-5}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{7+5}{2} = 6$.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{6}{7}$):
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > \frac{6}{7}$.
Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию, так как $6 > \frac{6}{7}$.
Оба корня подходят.

Ответ: $x=1, x=6$.

б) $x + 3 = \sqrt{2x + 9}$

1. ОДЗ:
Выражение под корнем: $2x + 9 \ge 0 \implies 2x \ge -9 \implies x \ge -4.5$.
Левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна квадратному корню: $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Итоговое ОДЗ: $x \ge -3$.

2. Решение уравнения:
Возводим обе части в квадрат:
$(x + 3)^2 = (\sqrt{2x + 9})^2$
$x^2 + 6x + 9 = 2x + 9$
Переносим все члены в одну сторону:
$x^2 + 6x - 2x + 9 - 9 = 0$
$x^2 + 4x = 0$

3. Решаем полученное неполное квадратное уравнение:
Выносим $x$ за скобки:
$x(x + 4) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ ($x \ge -3$):
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $0 > -3$.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < -3$. Этот корень является посторонним.

Ответ: $x=0$.

в) $\sqrt{6x - 11} = x - 1$

1. ОДЗ:
Выражение под корнем: $6x - 11 \ge 0 \implies 6x \ge 11 \implies x \ge \frac{11}{6}$.
Правая часть уравнения: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Так как $\frac{11}{6} \approx 1.83$, то условие $x \ge \frac{11}{6}$ является более строгим. Итоговое ОДЗ: $x \ge \frac{11}{6}$.

2. Решение уравнения:
Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{6x - 11})^2 = (x - 1)^2$
$6x - 11 = x^2 - 2x + 1$
Переносим все члены в одну сторону:
$x^2 - 2x - 6x + 1 + 11 = 0$
$x^2 - 8x + 12 = 0$

3. Решаем квадратное уравнение:
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$.
$x_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{11}{6}$):
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 = \frac{12}{6}$, а $\frac{12}{6} > \frac{11}{6}$.
Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию, так как $6 > \frac{11}{6}$.
Оба корня подходят.

Ответ: $x=2, x=6$.

г) $-x - 5 = \sqrt{7x + 23}$

1. ОДЗ:
Выражение под корнем: $7x + 23 \ge 0 \implies 7x \ge -23 \implies x \ge -\frac{23}{7}$.
Левая часть уравнения: $-x - 5 \ge 0 \implies -x \ge 5 \implies x \le -5$.
Необходимо, чтобы одновременно выполнялись условия $x \ge -\frac{23}{7}$ (т.е. $x \ge -3\frac{2}{7}$) и $x \le -5$.
Эти условия противоречат друг другу, так как не существует числа, которое одновременно больше $-3\frac{2}{7}$ и меньше $-5$.
Следовательно, область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет решений.

Для проверки можно возвести обе части в квадрат:
$(-x - 5)^2 = (\sqrt{7x + 23})^2$
$(x + 5)^2 = 7x + 23$
$x^2 + 10x + 25 = 7x + 23$
$x^2 + 3x + 2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -2$.
Однако, ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x \le -5$. Проверим их подстановкой в исходное уравнение:
Для $x = -1$: $-(-1) - 5 = \sqrt{7(-1) + 23} \implies 1-5 = \sqrt{16} \implies -4 = 4$, что неверно.
Для $x = -2$: $-(-2) - 5 = \sqrt{7(-2) + 23} \implies 2-5 = \sqrt{9} \implies -3 = 3$, что неверно.
Оба найденных корня являются посторонними.

Ответ: нет корней.