Номер 26.14, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.14, страница 166.

26.14. a) $(x^2 - 9)(\sqrt{3 - 2x} - x) = 0;$

б) $(x^2 - 16)(\sqrt{4 - 3x} - x) = 0.$

а) $(x^2 - 9)(\sqrt{3 - 2x} - x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3 - 2x \ge 0$
$3 \ge 2x$
$x \le 1.5$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 1.5]$.

Рассмотрим два случая:

1) Первый множитель равен нулю:
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le 1.5$).
Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $3 > 1.5$.
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 \le 1.5$. Следовательно, $x = -3$ является решением уравнения.

2) Второй множитель равен нулю:
$\sqrt{3 - 2x} - x = 0$
$\sqrt{3 - 2x} = x$
Поскольку левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной, то есть $x \ge 0$.
С учетом ОДЗ ($x \le 1.5$) и этого условия, получаем, что решения этого уравнения должны лежать в промежутке $[0; 1.5]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3 - 2x})^2 = x^2$
$3 - 2x = x^2$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:
$x_3 = 1$, $x_4 = -3$
Проверим эти корни на соответствие условию $x \in [0; 1.5]$.
Корень $x_3 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le 1.5$.
Корень $x_4 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$.

Объединяя найденные решения из обоих случаев, получаем корни исходного уравнения: $x = -3$ и $x = 1$.

Ответ: -3; 1.

б) $(x^2 - 16)(\sqrt{4 - 3x} - x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом существуют.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$4 - 3x \ge 0$
$4 \ge 3x$
$x \le \frac{4}{3}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3}]$.

Рассмотрим два случая:

1) Первый множитель равен нулю:
$x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le \frac{4}{3}$).
Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > \frac{4}{3}$.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 \le \frac{4}{3}$. Следовательно, $x = -4$ является решением уравнения.

2) Второй множитель равен нулю:
$\sqrt{4 - 3x} - x = 0$
$\sqrt{4 - 3x} = x$
Левая часть уравнения неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
С учетом ОДЗ ($x \le \frac{4}{3}$), решения этого уравнения должны удовлетворять условию $x \in [0; \frac{4}{3}]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{4 - 3x})^2 = x^2$
$4 - 3x = x^2$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:
$x_3 = 1$, $x_4 = -4$
Проверим эти корни на соответствие условию $x \in [0; \frac{4}{3}]$.
Корень $x_3 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le \frac{4}{3}$.
Корень $x_4 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 0$.

Объединяя найденные решения из обоих случаев, получаем корни исходного уравнения: $x = -4$ и $x = 1$.

Ответ: -4; 1.