Номер 26.17, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.17, страница 167.

26.17. a) Найдите сумму натуральных значений параметра $a$, при которых уравнение $(\sqrt{x} - 4 - 2)(x - a) = 0$ имеет единственный корень.

б) Сколько имеется натуральных значений параметра $a$, при которых уравнение $(\log_{3}(2x - 11) - 1)(x^2 - a^2) = 0$ имеет единственный корень?

a)

Рассмотрим уравнение $(\sqrt{x-4}-2)(x-a)=0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом определен. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-4 \ge 0$, что дает нам $x \ge 4$.

Теперь решим уравнение, рассмотрев два случая, когда множители равны нулю.

1) $\sqrt{x-4}-2 = 0$.
$\sqrt{x-4} = 2$.
Возведя обе части в квадрат, получаем $x-4 = 4$, откуда $x_1 = 8$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $8 \ge 4$. Следовательно, $x=8$ является корнем исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

2) $x-a = 0$.
Отсюда $x_2 = a$.
Этот корень является решением исходного уравнения только если он удовлетворяет ОДЗ, то есть при условии $a \ge 4$.

Уравнение должно иметь единственный корень. Проанализируем, при каких значениях параметра $a$ это возможно.

Случай 1: Второй корень $x_2=a$ не входит в ОДЗ. Это происходит, если $a < 4$. В этом случае единственным действительным корнем уравнения будет $x_1=8$. Поскольку по условию $a$ — натуральное число, то этому условию удовлетворяют значения $a \in \{1, 2, 3\}$.

Случай 2: Второй корень $x_2=a$ входит в ОДЗ, но совпадает с первым корнем $x_1=8$. Это происходит при $a=8$. В этом случае $a=8 \ge 4$, так что корень $x_2=8$ существует. Оба множителя обращаются в ноль при $x=8$, и уравнение имеет единственный корень $x=8$. Значение $a=8$ является натуральным.

Таким образом, натуральные значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственный корень, это $1, 2, 3, 8$.

Найдем сумму этих значений: $1 + 2 + 3 + 8 = 14$.

Ответ: 14.

б)

Рассмотрим уравнение $(\log_3(2x-11)-1)(x^2-a^2)=0$.

Аналогично пункту а), найдем ОДЗ и корни от каждого множителя.

ОДЗ определяется условием для логарифма: аргумент должен быть строго положительным. $2x-11 > 0 \implies 2x > 11 \implies x > 5.5$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $\log_3(2x-11)-1 = 0$.
$\log_3(2x-11) = 1$.
По определению логарифма: $2x-11 = 3^1 \implies 2x-11 = 3 \implies 2x = 14 \implies x_1 = 7$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $7 > 5.5$. Да, удовлетворяет. Значит, $x=7$ всегда является корнем уравнения.

2) $x^2-a^2 = 0$.
$x^2 = a^2 \implies x = a$ или $x = -a$. Получаем еще два потенциальных корня: $x_2 = a$ и $x_3 = -a$.

По условию, параметр $a$ — натуральное число, т.е. $a \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x>5.5$):

• Корень $x_3 = -a$: так как $a$ — натуральное число, $-a$ всегда будет отрицательным. Очевидно, что $-a \le -1$, поэтому корень $x_3=-a$ никогда не удовлетворяет условию $x > 5.5$ и не является решением.
• Корень $x_2 = a$: этот корень удовлетворяет ОДЗ, если $a > 5.5$. Поскольку $a$ — натуральное число, это условие эквивалентно $a \ge 6$.

Уравнение должно иметь единственный корень. Это будет корень $x_1=7$. Это возможно в двух ситуациях:

Случай 1: Корень $x_2=a$ не удовлетворяет ОДЗ. Это происходит, когда $a \le 5.5$. Учитывая, что $a$ — натуральное число, получаем значения $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$. При этих значениях $a$ в уравнении будет только один корень $x=7$. Всего 5 значений.

Случай 2: Корень $x_2=a$ удовлетворяет ОДЗ, но совпадает с корнем $x_1=7$. Это возможно только если $a = 7$. Проверим: при $a=7$ условие $a \ge 6$ выполняется. Корни от второго множителя $x=7$ и $x=-7$. Корень $x=-7$ не входит в ОДЗ. Корень $x=7$ совпадает с $x_1$. Таким образом, при $a=7$ уравнение имеет единственный корень $x=7$. Это еще одно значение.

Итак, натуральные значения $a$, при которых уравнение имеет единственный корень, это $\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$.

Посчитаем их количество: 5 значений из первого случая и 1 значение из второго. Всего $5 + 1 = 6$ значений.

Ответ: 6.