Номер 27.1, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.1, страница 167.

Будет ли уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$ равносильно уравнению вида $f(x) = g(x)$?

27.1. а) $3^{2-x} = 3^{x^2-4x}$;

б) $(3x^2 - 2)^4 = (x - 3)^4$;

в) $\sqrt[3]{7 - x} = \sqrt[3]{5x + 1}$;

г) $\lg \frac{1}{x} = \lg (2x - 7)$.

Уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$ не всегда. Равносильность (эквивалентность) преобразования зависит от свойств функции $h(y)$.

1. Если функция $h(y)$ является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на всей своей области определения, то из равенства $h(y_1) = h(y_2)$ следует равенство $y_1 = y_2$. В этом случае переход от уравнения $h(f(x)) = h(g(x))$ к уравнению $f(x) = g(x)$ является равносильным преобразованием (при условии, что области определения $f(x)$ и $g(x)$ не изменяются).

2. Если функция $h(y)$ не является монотонной (например, четная функция, как $h(y)=y^2$ или $h(y)=y^4$), то из $h(y_1) = h(y_2)$ не обязательно следует, что $y_1 = y_2$. Например, для $h(y) = y^4$ равенство $h(y_1) = h(y_2)$ означает, что $y_1^4 = y_2^4$, откуда следует $y_1 = y_2$ или $y_1 = -y_2$. В этом случае уравнение $h(f(x)) = h(g(x))$ равносильно совокупности уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Переход к одному лишь уравнению $f(x)=g(x)$ приведет к потере корней.

3. Также необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ). Если область определения функции $h(y)$ ограничена (например, у логарифмической функции $h(y)=\lg y$ аргумент $y>0$), то уравнение $h(f(x)) = h(g(x))$ имеет смысл только для тех $x$, при которых значения $f(x)$ и $g(x)$ попадают в область определения $h$. При переходе к уравнению $f(x) = g(x)$ область допустимых значений может расшириться, что может привести к появлению посторонних корней.

Рассмотрим каждый пример подробно.

а) $3^{2-x} = 3^{x^2-4x}$

Это уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$, где $f(x) = 2-x$, $g(x) = x^2-4x$, а $h(y) = 3^y$.
Показательная функция $h(y) = 3^y$ является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, переход от уравнения $3^{f(x)} = 3^{g(x)}$ к уравнению $f(x)=g(x)$ является равносильным.
Решим полученное уравнение:
$2 - x = x^2 - 4x$
$x^2 - 4x + x - 2 = 0$
$x^2 - 3x - 2 = 0$
Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$.
$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Данные уравнения равносильны.

Ответ: Да, эти уравнения равносильны. Корни уравнения: $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

б) $(3x^2 - 2)^4 = (x - 3)^4$

Это уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$, где $f(x) = 3x^2-2$, $g(x) = x-3$, а $h(y) = y^4$.
Степенная функция $h(y) = y^4$ не является монотонной. Это четная функция, поэтому из $a^4=b^4$ следует, что $a=b$ или $a=-b$.
Следовательно, исходное уравнение не равносильно уравнению $f(x)=g(x)$, а равносильно совокупности двух уравнений:
1) $3x^2 - 2 = x - 3$ и 2) $3x^2 - 2 = -(x - 3)$.
Решим каждое уравнение:
1) $3x^2 - x + 1 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11 < 0$. Действительных корней нет.
2) $3x^2 - 2 = -x + 3$.
$3x^2 + x - 5 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 1 + 60 = 61 > 0$.
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{6}$.
Уравнение $f(x)=g(x)$ не имеет корней, в то время как исходное уравнение имеет два корня. Значит, они не равносильны.

Ответ: Нет, эти уравнения не равносильны. Переход к уравнению $f(x)=g(x)$ приводит к потере корней $x = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{6}$.

в) $\sqrt[3]{7-x} = \sqrt[3]{5x+1}$

Это уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$, где $f(x) = 7-x$, $g(x) = 5x+1$, а $h(y) = \sqrt[3]{y}$.
Функция "кубический корень" $h(y) = \sqrt[3]{y}$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Поэтому переход от уравнения $\sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{g(x)}$ к уравнению $f(x)=g(x)$ является равносильным.
Решим полученное уравнение:
$7 - x = 5x + 1$
$7 - 1 = 5x + x$
$6 = 6x$
$x = 1$
Данные уравнения равносильны.

Ответ: Да, эти уравнения равносильны. Корень уравнения: $x = 1$.

г) $\lg \frac{1}{x} = \lg(2x - 7)$

Это уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$, где $f(x) = \frac{1}{x}$, $g(x) = 2x-7$, а $h(y) = \lg y$.
Десятичный логарифм $h(y) = \lg y$ — строго возрастающая функция, но ее область определения $y>0$. Поэтому при переходе от $\lg(f(x)) = \lg(g(x))$ к $f(x)=g(x)$ нужно учитывать ОДЗ.
ОДЗ исходного уравнения определяется системой неравенств:
$\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{1}{x} > 0 \\ 2x - 7 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3.5 \end{cases} \implies x > 3.5$.
Теперь рассмотрим уравнение $f(x) = g(x)$:
$\frac{1}{x} = 2x - 7$
ОДЗ этого уравнения: $x \neq 0$. Область допустимых значений стала шире, чем у исходного уравнения, значит, преобразование не является равносильным и может привести к появлению посторонних корней.
Решим это уравнение:
$1 = x(2x - 7)$
$2x^2 - 7x - 1 = 0$
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 49 + 8 = 57$.
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{4}$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 3.5$):
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$. Так как $7 = \sqrt{49}$, а $\sqrt{57} > \sqrt{49}$, то $7 - \sqrt{57} < 0$, следовательно $x_1 < 0$. Этот корень посторонний.
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$. Так как $7 < \sqrt{57} < 8$, то $14 < 7 + \sqrt{57} < 15$, и $\frac{14}{4} < \frac{7 + \sqrt{57}}{4} < \frac{15}{4}$, то есть $3.5 < x_2 < 3.75$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Уравнение $\frac{1}{x} = 2x - 7$ имеет два корня, а исходное уравнение — только один.

Ответ: Нет, эти уравнения не равносильны. Переход к уравнению $f(x)=g(x)$ является неравносильным, так как расширяет ОДЗ и приводит к появлению постороннего корня $x = \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$.