Номер 27.2, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.2, страница 167.

27.2. a) $(2x^4 + 1)^5 = (1 - x^3)^5;$

б) $\log_{0.2} (2 \sin x - 1) = \log_{0.2} (3 - \sin^2 x);$

в) $\sqrt[6]{2^x - 1} = \sqrt[6]{5 - 3 \cdot 2^x};$

г) $\cos (3^x - 1) = \cos (3 - 9^x).$

а) Данное уравнение имеет вид $A^5 = B^5$. Поскольку функция $y = u^5$ является строго возрастающей на всей числовой оси, равенство $A^5 = B^5$ равносильно равенству $A = B$. Приравняем основания степеней: $2x^4 + 1 = 1 - x^3$ Перенесем все члены уравнения в левую часть: $2x^4 + x^3 + 1 - 1 = 0$ $2x^4 + x^3 = 0$ Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки: $x^3(2x + 1) = 0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая: 1) $x^3 = 0 \implies x = 0$ 2) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -1/2$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -0.5$.

б) Это логарифмическое уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. Оно равносильно системе: $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$ В нашем случае: $\log_{0.2}(2 \sin x - 1) = \log_{0.2}(3 - \sin^2 x)$ Составим систему: $\begin{cases} 2 \sin x - 1 = 3 - \sin^2 x \\ 2 \sin x - 1 > 0 \end{cases}$ (Условие $3 - \sin^2 x > 0$ выполняется всегда, так как $\sin^2 x \le 1$, и следовательно $3 - \sin^2 x \ge 2$). Решим сначала уравнение. Сделаем замену $t = \sin x$. Учитывая область значений синуса, $-1 \le t \le 1$. $2t - 1 = 3 - t^2$ $t^2 + 2t - 4 = 0$ Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$ $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$ Получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = -1 + \sqrt{5}$ $t_2 = -1 - \sqrt{5}$ Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения условиям $-1 \le t \le 1$ и $t > 1/2$ (из $2 \sin x - 1 > 0$). Для $t_1 = -1 + \sqrt{5}$: так как $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{5} < 3$. Значит, $1 < -1 + \sqrt{5} < 2$. Поскольку $t_1 > 1$, это значение не входит в область значений синуса. Следовательно, уравнение $\sin x = -1 + \sqrt{5}$ не имеет решений. Для $t_2 = -1 - \sqrt{5}$: это значение очевидно меньше, чем $-1$. Оно также не входит в область значений синуса. Поскольку ни одно из найденных значений $t$ не является допустимым значением для $\sin x$, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений (∅).

в) Данное уравнение вида $\sqrt[6]{f(x)} = \sqrt[6]{g(x)}$ с четным показателем корня. Оно равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны и неотрицательны: $\begin{cases} 2^x - 1 = 5 - 3 \cdot 2^x \\ 2^x - 1 \ge 0 \end{cases}$ (Условие $5 - 3 \cdot 2^x \ge 0$ будет выполнено автоматически, если выполнено первое уравнение и второе неравенство). Решим уравнение. Сделаем замену $y = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$. $y - 1 = 5 - 3y$ $y + 3y = 5 + 1$ $4y = 6$ $y = 6/4 = 3/2$ Вернемся к переменной $x$: $2^x = 3/2$ Проверим условие ОДЗ: $2^x - 1 \ge 0$. $3/2 - 1 = 1/2 \ge 0$. Условие выполняется. Теперь найдем $x$: $2^x = 3/2$ Прологарифмируем обе части по основанию 2: $\log_2(2^x) = \log_2(3/2)$ $x = \log_2(3) - \log_2(2)$ $x = \log_2(3) - 1$
Ответ: $x = \log_2(3) - 1$.

г) Уравнение вида $\cos(A) = \cos(B)$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B + 2\pi k$ или $A = -B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В школьном курсе часто рассматривают частный случай при $k=0$, то есть $A = \pm B$. Рассмотрим оба случая для $k=0$. Пусть $A = 3^x - 1$ и $B = 3 - 9^x$. Случай 1: $A = B$ $3^x - 1 = 3 - 9^x$ $9^x + 3^x - 4 = 0$ Сделаем замену $t = 3^x$. Так как $x \in \mathbb{R}$, то $t > 0$. $t^2 + t - 4 = 0$ Найдем корни по формуле: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$ $t = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$ Поскольку $t > 0$, выбираем корень со знаком плюс: $t = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ Возвращаемся к переменной $x$: $3^x = \frac{\sqrt{17} - 1}{2}$ $x_1 = \log_3\left(\frac{\sqrt{17} - 1}{2}\right)$ Случай 2: $A = -B$ $3^x - 1 = -(3 - 9^x)$ $3^x - 1 = -3 + 9^x$ $9^x - 3^x - 2 = 0$ Снова делаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$. $t^2 - t - 2 = 0$ Это квадратное уравнение легко решается по теореме Виета или разложением на множители: $(t - 2)(t + 1) = 0$ Корни $t=2$ и $t=-1$. Так как $t > 0$, нам подходит только $t = 2$. Возвращаемся к переменной $x$: $3^x = 2$ $x_2 = \log_3(2)$ Уравнение имеет два корня (при допущении $k=0$).
Ответ: $x_1 = \log_3(2)$, $x_2 = \log_3\left(\frac{\sqrt{17} - 1}{2}\right)$.