Номер 27.9, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.9, страница 168.

27.9. a) $2^{\log_8 x - \log_8 x^2 + 2,5} = (2\sqrt{2} + 1)^2 - 9;$

б) $3^{\cos x} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}.$

а) $2^{\log_8 x - \log_8 x^2 + 2,5} = (2\sqrt{2} + 1)^2 - 9$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x > 0$ и $x^2 > 0$.
Второе условие выполняется для всех $x \neq 0$. Совмещая условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

2. Упростим правую часть уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(2\sqrt{2} + 1)^2 - 9 = ((2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) - 9 = (8 + 4\sqrt{2} + 1) - 9 = 9 + 4\sqrt{2} - 9 = 4\sqrt{2}$.
Представим $4\sqrt{2}$ в виде степени с основанием 2:
$4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 0,5} = 2^{2,5}$.

3. Упростим показатель степени в левой части уравнения, используя свойства логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$ и $\log_a (b^p) = p \log_a b$ (для $b>0$):
$\log_8 x - \log_8 x^2 + 2,5 = \log_8 x - 2\log_8 x + 2,5 = -\log_8 x + 2,5$.

4. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:
$2^{-\log_8 x + 2,5} = 2^{2,5}$.

5. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$-\log_8 x + 2,5 = 2,5$
$-\log_8 x = 0$
$\log_8 x = 0$
$x = 8^0$
$x = 1$.

6. Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x > 0$).
$1 > 0$, следовательно, корень подходит.

Ответ: 1

---

б) $3^{\cos x} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$

1. Упростим обе части уравнения, представив их в виде степеней с основанием 3.

2. Упростим левую часть, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 0,5} = 3^{1,5}$.
Тогда левая часть примет вид:
$3^{\cos x} \cdot 3^{1,5} = 3^{\cos x + 1,5}$.

3. Упростим правую часть, используя свойство корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3 = 3^1$.

4. Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$3^{\cos x + 1,5} = 3^1$.

5. Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:
$\cos x + 1,5 = 1$
$\cos x = 1 - 1,5$
$\cos x = -0,5$.

6. Найдем решение простейшего тригонометрического уравнения:
$x = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$