Номер 26.15, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.15, страница 166.

26.15. а) $ \sin 2x \cdot \sqrt{4 - x^2} = 0; $

б) $ (\cos 2x - 1) \cdot \sqrt{9 - x^2} = 0; $

в) $ (\cos^2 x - \sin^2 x) \cdot \sqrt{1 - x^2} = 0; $

г) $ \operatorname{tg} x \cdot \sqrt{16 - x^2} = 0. $

а) $sin(2x) \cdot \sqrt{4 - x^2} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл (определен).

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$4 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 4$
$-2 \le x \le 2$
ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

2. Решим уравнение.
Уравнение равносильно совокупности:
$\left[ \begin{gathered} \sqrt{4 - x^2} = 0 \\ \sin(2x) = 0 \end{gathered} \right.$ при условии, что $x \in [-2, 2]$.

Случай 1: $\sqrt{4 - x^2} = 0$
$4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $\sin(2x) = 0$
$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
$x = \frac{\pi k}{2}$.

3. Отберем корни, принадлежащие ОДЗ.
Нам нужно найти такие целые $k$, для которых выполняется неравенство:
$-2 \le \frac{\pi k}{2} \le 2$
$-\frac{4}{\pi} \le k \le \frac{4}{\pi}$
Так как $\pi \approx 3.14$, то $4/\pi \approx 1.27$.
$-1.27 \le k \le 1.27$.
Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $-1, 0, 1$.
При $k = -1$, $x_3 = -\frac{\pi}{2}$.
При $k = 0$, $x_4 = 0$.
При $k = 1$, $x_5 = \frac{\pi}{2}$.
Все эти корни входят в ОДЗ.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\{-2; -\frac{\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2}; 2\}$.

б) $(\cos(2x) - 1) \cdot \sqrt{9 - x^2} = 0$

1. ОДЗ:
$9 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 9 \implies -3 \le x \le 3$.
ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.

2. Решение уравнения:
$\left[ \begin{gathered} \sqrt{9 - x^2} = 0 \\ \cos(2x) - 1 = 0 \end{gathered} \right.$ при $x \in [-3, 3]$.

Случай 1: $\sqrt{9 - x^2} = 0 \implies 9 - x^2 = 0 \implies x = \pm 3$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $\cos(2x) - 1 = 0 \implies \cos(2x) = 1$.
$2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi k$.

3. Отбор корней, принадлежащих ОДЗ:
$-3 \le \pi k \le 3$
$-\frac{3}{\pi} \le k \le \frac{3}{\pi}$
Так как $\pi \approx 3.14$, то $3/\pi \approx 0.955$.
$-0.955 \le k \le 0.955$.
Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее неравенству, это $k=0$.
При $k=0$, $x=0$. Этот корень входит в ОДЗ.

Объединяем все найденные корни.
Ответ: $\{-3; 0; 3\}$.

в) $(\cos^2 x - \sin^2 x) \cdot \sqrt{1 - x^2} = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$.
Уравнение принимает вид: $\cos(2x) \cdot \sqrt{1 - x^2} = 0$.

1. ОДЗ:
$1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$.
ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

2. Решение уравнения:
$\left[ \begin{gathered} \sqrt{1 - x^2} = 0 \\ \cos(2x) = 0 \end{gathered} \right.$ при $x \in [-1, 1]$.

Случай 1: $\sqrt{1 - x^2} = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x = \pm 1$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $\cos(2x) = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{4}(1 + 2k)$.

3. Отбор корней, принадлежащих ОДЗ:
$-1 \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \le 1$
Умножим на $\frac{4}{\pi}$: $-\frac{4}{\pi} \le 1 + 2k \le \frac{4}{\pi}$.
$-1.27 \le 1 + 2k \le 1.27$.
$-2.27 \le 2k \le 0.27$.
$-1.135 \le k \le 0.135$.
Целые значения $k$, удовлетворяющие неравенству: $-1, 0$.
При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$.
При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$.
Оба корня входят в ОДЗ.

Объединяем все найденные корни.
Ответ: $\{-1; -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; 1\}$.

г) $\text{tg } x \cdot \sqrt{16 - x^2} = 0$

1. Найдем ОДЗ.
Во-первых, $16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies x \in [-4, 4]$.
Во-вторых, тангенс определен, когда $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значения, которые нужно исключить из отрезка $[-4, 4]$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
При $n=-1$, $x = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$.
Другие значения $x$ (при $n=1, -2, \ldots$) выходят за пределы отрезка $[-4, 4]$.
Итак, ОДЗ: $x \in [-4, 4]$, $x \ne \pm \frac{\pi}{2}$.

2. Решение уравнения:
$\left[ \begin{gathered} \sqrt{16 - x^2} = 0 \\ \text{tg } x = 0 \end{gathered} \right.$ с учетом ОДЗ.

Случай 1: $\sqrt{16 - x^2} = 0 \implies 16 - x^2 = 0 \implies x = \pm 4$.
Оба корня принадлежат ОДЗ (т.к. $\cos(\pm 4) \ne 0$).

Случай 2: $\text{tg } x = 0$.
Это эквивалентно $\sin x = 0$.
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Отбор корней, принадлежащих ОДЗ:
$-4 \le \pi k \le 4$
$-\frac{4}{\pi} \le k \le \frac{4}{\pi}$
$-1.27 \le k \le 1.27$.
Целые значения $k$: $-1, 0, 1$.
При $k = -1$, $x = -\pi$.
При $k = 0$, $x = 0$.
При $k = 1$, $x = \pi$.
Все эти корни входят в ОДЗ (т.к. $\cos(\pi k) = (-1)^k \ne 0$).

Объединяем все найденные корни.
Ответ: $\{-4; -\pi; 0; \pi; 4\}$.