Номер 26.13, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.13, страница 166.

26.13. а) $\sqrt{x^4 - 5x^2 - 2,5x} = 5 - x^2$;

б) $\sqrt{x^4 - 5x^2 - 2,5x} = x^2 - 5$;

В) $\sqrt{x^4 - 3x^2 - 1,5x} = x^2 - 3$;

Г) $\sqrt{x^4 - 3x^2 - 1,5x} = 3 - x^2$.

а)

Дано иррациональное уравнение:
$\sqrt{x^4 - 5x^2 - 2,5x} = 5 - x^2$

Данное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением обеих частей в квадрат, и неравенства, обеспечивающего неотрицательность правой части (так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным).

$ \begin{cases} 5 - x^2 \ge 0, \\ x^4 - 5x^2 - 2,5x = (5 - x^2)^2. \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:

$x^4 - 5x^2 - 2,5x = 25 - 10x^2 + x^4$
$x^4 - 5x^2 - 2,5x - x^4 + 10x^2 - 25 = 0$
$5x^2 - 2,5x - 25 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$10x^2 - 5x - 50 = 0$

Разделим уравнение на 5 для упрощения:

$2x^2 - x - 10 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $5 - x^2 \ge 0$ (или $x^2 \le 5$).

Для $x_1 = 2,5$:
$5 - (2,5)^2 = 5 - 6,25 = -1,25$.
Так как $-1,25 < 0$, корень $x_1 = 2,5$ является посторонним.

Для $x_2 = -2$:
$5 - (-2)^2 = 5 - 4 = 1$.
Так как $1 > 0$, корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию.

Ответ: -2

б)

Дано иррациональное уравнение:
$\sqrt{x^4 - 5x^2 - 2,5x} = x^2 - 5$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 5 \ge 0, \\ x^4 - 5x^2 - 2,5x = (x^2 - 5)^2. \end{cases} $

Решим второе уравнение системы. Заметим, что $(x^2 - 5)^2 = (5 - x^2)^2$, поэтому после возведения в квадрат мы получим то же самое уравнение, что и в пункте а):

$x^4 - 5x^2 - 2,5x = x^4 - 10x^2 + 25$
$5x^2 - 2,5x - 25 = 0$
$2x^2 - x - 10 = 0$

Корни этого уравнения уже найдены: $x_1 = 2,5$ и $x_2 = -2$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x^2 - 5 \ge 0$ (или $x^2 \ge 5$).

Для $x_1 = 2,5$:
$(2,5)^2 - 5 = 6,25 - 5 = 1,25$.
Так как $1,25 > 0$, корень $x_1 = 2,5$ удовлетворяет условию.

Для $x_2 = -2$:
$(-2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$.
Так как $-1 < 0$, корень $x_2 = -2$ является посторонним.

Ответ: 2,5

в)

Дано иррациональное уравнение:
$\sqrt{x^4 - 3x^2 - 1,5x} = x^2 - 3$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 3 \ge 0, \\ x^4 - 3x^2 - 1,5x = (x^2 - 3)^2. \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:

$x^4 - 3x^2 - 1,5x = x^4 - 6x^2 + 9$
$x^4 - 3x^2 - 1,5x - x^4 + 6x^2 - 9 = 0$
$3x^2 - 1,5x - 9 = 0$

Умножим уравнение на 2:

$6x^2 - 3x - 18 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$2x^2 - x - 6 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1,5$

Проверим корни на соответствие условию $x^2 - 3 \ge 0$ (или $x^2 \ge 3$).

Для $x_1 = 2$:
$2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
Так как $1 > 0$, корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Для $x_2 = -1,5$:
$(-1,5)^2 - 3 = 2,25 - 3 = -0,75$.
Так как $-0,75 < 0$, корень $x_2 = -1,5$ является посторонним.

Ответ: 2

г)

Дано иррациональное уравнение:
$\sqrt{x^4 - 3x^2 - 1,5x} = 3 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 3 - x^2 \ge 0, \\ x^4 - 3x^2 - 1,5x = (3 - x^2)^2. \end{cases} $

Решим второе уравнение. Так как $(3 - x^2)^2 = (x^2 - 3)^2$, мы получим то же уравнение, что и в пункте в):

$x^4 - 3x^2 - 1,5x = 9 - 6x^2 + x^4$
$3x^2 - 1,5x - 9 = 0$
$2x^2 - x - 6 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1,5$.

Проверим эти корни на соответствие условию $3 - x^2 \ge 0$ (или $x^2 \le 3$).

Для $x_1 = 2$:
$3 - 2^2 = 3 - 4 = -1$.
Так как $-1 < 0$, корень $x_1 = 2$ является посторонним.

Для $x_2 = -1,5$:
$3 - (-1,5)^2 = 3 - 2,25 = 0,75$.
Так как $0,75 > 0$, корень $x_2 = -1,5$ удовлетворяет условию.

Ответ: -1,5