Номер 26.6, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.6, страница 165.

26.6. Равносильны ли уравнения:

a) $\sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3}$ и $2x^2 + 2 = x^4 + 3$;

б) $\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1$ и $\sin^2 x = 0$?

а) Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Рассмотрим уравнения $\sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3}$ и $2x^2 + 2 = x^4 + 3$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения. Для этого выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными.
1) $2x^2 + 2 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $2x^2 \ge 0$, и $2x^2 + 2 \ge 2$. Неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.
2) $x^4 + 3 \ge 0$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $x^4 + 3 \ge 3$. Неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.
Таким образом, ОДЗ первого уравнения — это множество всех действительных чисел.
На всей ОДЗ обе части уравнения $\sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3}$ неотрицательны, поэтому возведение обеих частей в квадрат является равносильным преобразованием (то есть не приводит к потере корней или появлению посторонних корней).
$(\sqrt{2x^2 + 2})^2 = (\sqrt{x^4 + 3})^2$
$2x^2 + 2 = x^4 + 3$
Мы получили второе уравнение. Его ОДЗ — также множество всех действительных чисел, так как это полиномиальное уравнение.
Поскольку первое уравнение с помощью равносильного преобразования приводится ко второму, а их области определения совпадают, уравнения равносильны.
Для полной уверенности можно найти корни. Преобразуем второе уравнение: $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$). Получим $y^2 - 2y + 1 = 0$, или $(y-1)^2 = 0$. Отсюда $y=1$. Возвращаясь к замене, имеем $x^2 = 1$, что дает корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Оба этих корня принадлежат ОДЗ обоих уравнений.
Ответ: да, уравнения равносильны.

б) Рассмотрим уравнения $\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1$ и $\sin^2 x = 0$.
Определим ОДЗ для первого уравнения. Выражение под корнем четвертой (четной) степени должно быть неотрицательным.
Для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \sin^2 x \le 1$. Тогда для подкоренного выражения имеем: $1 \le \sin^2 x + 1 \le 2$. Так как оно всегда положительно, ОДЗ первого уравнения — это множество всех действительных чисел, $x \in \mathbb{R}$.
Обе части уравнения $\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1$ неотрицательны, поэтому возведение в четвертую степень будет равносильным преобразованием.
$(\sqrt[4]{\sin^2 x + 1})^4 = 1^4$
$\sin^2 x + 1 = 1$
$\sin^2 x = 0$
Полученное уравнение в точности совпадает со вторым данным уравнением. Его ОДЗ — также все действительные числа.
Поскольку первое уравнение путем равносильных преобразований приводится ко второму и их ОДЗ совпадают, эти уравнения равносильны.
Решения уравнения $\sin^2 x = 0$ эквивалентны решениям уравнения $\sin x = 0$, то есть $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это общее множество решений для обоих уравнений.
Ответ: да, уравнения равносильны.