Номер 26.4, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.4, страница 165.

26.4. Укажите уравнение-следствие для уравнения:

а) $\sqrt{7x + 3} = x;$

б) $\log_2 (x - 1) - \log_2 x = 0;$

в) $\sin (\pi - x) \cdot \cot x = -0,5;$

г) $\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \cdot \tan x = 0.$

а) Исходное уравнение: $ \sqrt{7x + 3} = x $. Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части уравнения в квадрат. Эта операция не является равносильной и может привести к появлению посторонних корней, поэтому полученное уравнение будет являться следствием исходного.
$ (\sqrt{7x + 3})^2 = x^2 $
$ 7x + 3 = x^2 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$ x^2 - 7x - 3 = 0 $.
Это и есть уравнение-следствие.
Ответ: $ x^2 - 7x - 3 = 0 $.

б) Исходное уравнение: $ \log_2(x - 1) - \log_2 x = 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется системами неравенств $ x - 1 > 0 $ и $ x > 0 $, что дает $ x > 1 $.
Перенесем один из логарифмов в правую часть:
$ \log_2(x - 1) = \log_2 x $.
Так как логарифмическая функция является монотонной, равенство логарифмов с одинаковым основанием влечет за собой равенство их аргументов. Это преобразование приводит к уравнению-следствию:
$ x - 1 = x $.
Заметим, что это уравнение не имеет решений, как и исходное.
Ответ: $ x - 1 = x $.

в) Исходное уравнение: $ \sin(\pi - x) \cdot \ctg x = -0,5 $.
ОДЗ: $ \ctg x $ существует, если $ x \ne \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Применим формулу приведения $ \sin(\pi - x) = \sin x $ и определение котангенса $ \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$ \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -0,5 $.
В области допустимых значений $ \sin x \ne 0 $, поэтому мы можем сократить $ \sin x $ в числителе и знаменателе. Это преобразование приводит к уравнению-следствию, которое может иметь более широкое множество решений (хотя в данном случае множества решений совпадают).
$ \cos x = -0,5 $.
Ответ: $ \cos x = -0,5 $.

г) Исходное уравнение: $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \cdot \tg x = 0 $.
ОДЗ: $ \tg x $ существует, если $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Применим формулу приведения $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x $ и определение тангенса $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $.
Подставим эти выражения в уравнение:
$ \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 0 $.
В области допустимых значений $ \cos x \ne 0 $, поэтому мы можем сократить $ \cos x $. Это преобразование дает уравнение-следствие.
$ \sin x = 0 $.
Ответ: $ \sin x = 0 $.