Номер 27.22, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.22, страница 170.

Решите уравнение, используя функционально-графические методы:

27.22. a) $2^x = 6 - x;$

б) $ \left(\frac{1}{3}\right)^x = x + 4. $

а)

Для решения уравнения $2^x = 6 - x$ функционально-графическим методом, рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

1. $y = 2^x$ — показательная функция.

2. $y = 6 - x$ — линейная функция.

Решением исходного уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки пересечения графиков этих двух функций.

Проанализируем свойства функций:

Функция $y = 2^x$ является возрастающей на всей своей области определения ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), так как основание степени $2 > 1$.

Функция $y = 6 - x$ является убывающей на всей своей области определения ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), так как угловой коэффициент $k = -1 < 0$.

Так как одна функция монотонно возрастает, а другая монотонно убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые значения $x$.

При $x = 1$:
$2^1 = 2$
$6 - 1 = 5$
$2 \neq 5$

При $x = 2$:
$2^2 = 4$
$6 - 2 = 4$
$4 = 4$

Мы нашли корень $x=2$. Поскольку корень может быть только один, это и есть решение уравнения.

Ответ: $x = 2$

б)

Для решения уравнения $(\frac{1}{3})^x = x + 4$ используем тот же метод. Рассмотрим две функции:

1. $y = (\frac{1}{3})^x$ — показательная функция.

2. $y = x + 4$ — линейная функция.

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков этих функций.

Проанализируем свойства функций:

Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ является убывающей на всей своей области определения ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), так как основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$.

Функция $y = x + 4$ является возрастающей на всей своей области определения ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), так как угловой коэффициент $k = 1 > 0$.

Так как одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора.

При $x = 0$:
$(\frac{1}{3})^0 = 1$
$0 + 4 = 4$
$1 \neq 4$

При $x = -1$:
$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$
$-1 + 4 = 3$
$3 = 3$

Мы нашли корень $x=-1$. Так как он единственный, это и есть решение уравнения.

Ответ: $x = -1$