Номер 27.24, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.24, страница 170.

27.24. a) $1 - \sqrt{x} = \ln x$;

б) $\sqrt{x} - 2 = \frac{9}{x}$.

а) $1 - \sqrt{x} = \ln x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Для выражения $\sqrt{x}$ необходимо, чтобы $x \ge 0$. Для выражения $\ln x$ необходимо, чтобы $x > 0$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $f(x) = 1 - \sqrt{x}$ и $g(x) = \ln x$.

Исследуем эти функции на монотонность на их общей области определения $x > 0$.
Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (1 - \sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Так как для любого $x > 0$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ является строго убывающей на всей области определения.

Найдем производную функции $g(x)$: $g'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Так как для любого $x > 0$ производная $g'(x) > 0$, функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей области определения.

Поскольку строго убывающая функция и строго возрастающая функция могут пересекаться не более одного раза, данное уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x=1$:
Левая часть: $f(1) = 1 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0$.
Правая часть: $g(1) = \ln 1 = 0$.
Так как $f(1) = g(1)$, то $x=1$ является корнем уравнения. Поскольку этот корень единственный, других решений нет.

Ответ: $x = 1$.

б) $\sqrt{x} - 2 = \frac{9}{x}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Для решения уравнения введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $x > 0$, то и $t > 0$. Тогда $x = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t - 2 = \frac{9}{t^2}$

Умножим обе части уравнения на $t^2$ (это допустимо, так как $t^2 > 0$):
$t^2(t - 2) = 9$
$t^3 - 2t^2 = 9$
$t^3 - 2t^2 - 9 = 0$

Мы получили кубическое уравнение. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (-9): $\pm 1, \pm 3, \pm 9$.
Проверим $t = 3$:
$3^3 - 2 \cdot 3^2 - 9 = 27 - 2 \cdot 9 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0$.
Значение $t=3$ является корнем уравнения.

Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $t^3 - 2t^2 - 9$ на двучлен $(t-3)$:

$(t^3 - 2t^2 - 9) \div (t-3) = t^2 + t + 3$

Таким образом, уравнение можно представить в виде:
$(t-3)(t^2 + t + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $t - 3 = 0 \implies t = 3$.
2) $t^2 + t + 3 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Так как $D < 0$, уравнение $t^2 + t + 3 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением для $t$ является $t=3$. Это значение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = 3$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 9$

Проверим полученный корень, подставив его в исходное уравнение:
$\sqrt{9} - 2 = \frac{9}{9}$
$3 - 2 = 1$
$1 = 1$
Равенство верное.

Ответ: $x = 9$.