Номер 28.5, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.5, страница 174.

Решите неравенство, применяя теоремы о равносильности неравенств:

28.5. a) $log_{14} (x - 1) \le log_{14} (2x + 3)$;

б) $log_{0,3} (2x + 1) < log_{0,3} (x - 3)$.

а)

Дано неравенство $log_{14}(x - 1) \le log_{14}(2x + 3)$.

Это логарифмическое неравенство вида $log_a f(x) \le log_a g(x)$. Так как основание логарифма $a = 14 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, данное неравенство равносильно системе, в которой знак неравенства для подлогарифмических выражений сохраняется. Также необходимо учесть область определения логарифмов, потребовав, чтобы оба подлогарифмических выражения были положительными.

Перейдем к равносильной системе неравенств: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \\ x - 1 \le 2x + 3 \end{cases} $

Заметим, что из неравенства $x - 1 \le 2x + 3$ и условия $x - 1 > 0$ автоматически следует, что $2x + 3 > 0$. Поэтому систему можно упростить: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 \le 2x + 3 \end{cases} $

Решим полученную систему: $ \begin{cases} x > 1 \\ -1 - 3 \le 2x - x \end{cases} $ $ \begin{cases} x > 1 \\ -4 \le x \end{cases} $

Найдем пересечение решений: нужно, чтобы $x$ был одновременно больше $1$ и больше или равен $-4$. Общим решением является промежуток $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б)

Дано неравенство $log_{0,3}(2x + 1) < log_{0,3}(x - 3)$.

Это логарифмическое неравенство вида $log_a f(x) < log_a g(x)$. Так как основание логарифма $a = 0,3$, и $0 < 0,3 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть область определения.

Неравенство равносильно системе: $ \begin{cases} 2x + 1 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ 2x + 1 > x - 3 \end{cases} $

Из неравенства $2x + 1 > x - 3$ и условия $x - 3 > 0$ автоматически следует, что $2x + 1 > 0$. Поэтому систему можно упростить: $ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ 2x + 1 > x - 3 \end{cases} $

Решим полученную систему: $ \begin{cases} x > 3 \\ 2x - x > -3 - 1 \end{cases} $ $ \begin{cases} x > 3 \\ x > -4 \end{cases} $

Найдем пересечение решений: нужно, чтобы $x$ был одновременно больше $3$ и больше $-4$. Общим решением является промежуток $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.