Номер 28.10, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.10, страница 174.

28.10. a) $\begin{cases} 7 + 3x < 5x + 3, \\ 7x - 15 < 4x - 3, \\ 11x - 32 > 13x - 42; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 29 + 25x > 2(13x + 9), \\ 2x > 5, \\ 3(5x + 3) < 4(4x + 3). \end{cases}$

а) Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство отдельно, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$7 + 3x < 5x + 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$7 - 3 < 5x - 3x$

$4 < 2x$

Разделим обе части на 2:

$2 < x$ или $x > 2$

2. Решим второе неравенство:

$7x - 15 < 4x - 3$

$7x - 4x < 15 - 3$

$3x < 12$

Разделим обе части на 3:

$x < 4$

3. Решим третье неравенство:

$11x - 32 > 13x - 42$

$42 - 32 > 13x - 11x$

$10 > 2x$

Разделим обе части на 2:

$5 > x$ или $x < 5$

Теперь найдем общее решение для системы. Мы получили три условия:

$\left\{ \begin{array}{l} x > 2 \\ x < 4 \\ x < 5 \end{array} \right.$

Пересечение условий $x < 4$ и $x < 5$ дает $x < 4$. Следовательно, итоговое решение должно удовлетворять условиям $x > 2$ и $x < 4$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $2 < x < 4$.

Ответ: $x \in (2; 4)$.

б) Решим вторую систему неравенств по тому же принципу.

1. Решим первое неравенство:

$29 + 25x > 2(13x + 9)$

Раскроем скобки в правой части:

$29 + 25x > 26x + 18$

Перенесем слагаемые:

$29 - 18 > 26x - 25x$

$11 > x$ или $x < 11$

2. Решим второе неравенство:

$2x > 5$

Разделим обе части на 2:

$x > \frac{5}{2}$ или $x > 2.5$

3. Решим третье неравенство:

$3(5x + 3) < 4(4x + 3)$

Раскроем скобки:

$15x + 9 < 16x + 12$

Перенесем слагаемые:

$9 - 12 < 16x - 15x$

$-3 < x$ или $x > -3$

Найдем пересечение полученных решений:

$\left\{ \begin{array}{l} x < 11 \\ x > 2.5 \\ x > -3 \end{array} \right.$

Пересечение условий $x > 2.5$ и $x > -3$ дает $x > 2.5$. Таким образом, общее решение должно удовлетворять условиям $x < 11$ и $x > 2.5$. Это соответствует двойному неравенству $2.5 < x < 11$.

Ответ: $x \in (2.5; 11)$.