Номер 28.15, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.15, страница 175.

◯28.15.

a) $\begin{cases} \frac{2x - 3}{x + 3} > 0, \\ \frac{5x + 1}{4x - 2} < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{2}{x + 3} < \frac{5}{x}, \\ \frac{3}{x - 2} < \frac{2}{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x + 3)(x - 1) > 0, \\ 2 - x^2 \le 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 < 25, \\ \frac{x - 1}{x + 3} < 0. \end{cases}$

a)

Решим каждое неравенство системы отдельно.

1) Решим неравенство $ \frac{2x - 3}{x + 3} > 0 $ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $ 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5 $ и $ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 $. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки дроби в полученных интервалах.

При $ x > 1.5 $, дробь положительна.
При $ -3 < x < 1.5 $, дробь отрицательна.
При $ x < -3 $, дробь положительна.
Решением первого неравенства является объединение интервалов, где дробь положительна: $ x \in (-\infty, -3) \cup (1.5, +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \frac{5x + 1}{4x - 2} < 0 $ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ 5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0.2 $ и $ 4x - 2 = 0 \Rightarrow x = 0.5 $. Отметим эти точки на числовой оси.

При $ x > 0.5 $, дробь положительна.
При $ -0.2 < x < 0.5 $, дробь отрицательна.
При $ x < -0.2 $, дробь положительна.
Решением второго неравенства является интервал, где дробь отрицательна: $ x \in (-0.2, 0.5) $.

3) Найдем пересечение решений двух неравенств: $ ((-\infty, -3) \cup (1.5, +\infty)) \cap (-0.2, 0.5) $. Так как эти множества не имеют общих точек, пересечение пусто.

Ответ: $ \emptyset $ (нет решений).

б)

Решим каждое неравенство системы отдельно.

1) Преобразуем и решим первое неравенство: $ \frac{2}{x + 3} < \frac{5}{x} $.
$ \frac{2}{x + 3} - \frac{5}{x} < 0 $
$ \frac{2x - 5(x + 3)}{x(x + 3)} < 0 $
$ \frac{2x - 5x - 15}{x(x + 3)} < 0 $
$ \frac{-3x - 15}{x(x + 3)} < 0 $
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \frac{3x + 15}{x(x + 3)} > 0 $.
Методом интервалов находим, что нули выражения равны $ x = -5, x = -3, x = 0 $.
Решение этого неравенства: $ x \in (-5, -3) \cup (0, +\infty) $.

2) Преобразуем и решим второе неравенство: $ \frac{3}{x - 2} < \frac{2}{x} $.
$ \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x} < 0 $
$ \frac{3x - 2(x - 2)}{x(x - 2)} < 0 $
$ \frac{3x - 2x + 4}{x(x - 2)} < 0 $
$ \frac{x + 4}{x(x - 2)} < 0 $.
Методом интервалов находим, что нули выражения равны $ x = -4, x = 0, x = 2 $.
Решение этого неравенства: $ x \in (-\infty, -4) \cup (0, 2) $.

3) Найдем пересечение решений: $ ((-5, -3) \cup (0, +\infty)) \cap ((-\infty, -4) \cup (0, 2)) $.
Пересечение $ (-5, -3) $ и $ (-\infty, -4) $ дает $ (-5, -4) $.
Пересечение $ (0, +\infty) $ и $ (0, 2) $ дает $ (0, 2) $.
Объединяя эти результаты, получаем общее решение системы.

Ответ: $ x \in (-5, -4) \cup (0, 2) $.

в)

Решим каждое неравенство системы отдельно.

1) Решим неравенство $ (x + 3)(x - 1) > 0 $. Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх. Нули функции: $ x = -3 $ и $ x = 1 $. Неравенство выполняется, когда $ x $ находится вне интервала между корнями. Решение: $ x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) $.

2) Решим неравенство $ 2 - x^2 \le 0 $.
$ 2 \le x^2 $
$ |x| \ge \sqrt{2} $
Это означает, что $ x \le -\sqrt{2} $ или $ x \ge \sqrt{2} $.
Решение: $ x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty) $.

3) Найдем пересечение решений: $ ((-\infty, -3) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty)) $.
Так как $ -3 < -\sqrt{2} $ (потому что $9 > 2$), пересечение $ (-\infty, -3) $ и $ (-\infty, -\sqrt{2}] $ есть $ (-\infty, -3) $.
Так как $ 1 < \sqrt{2} $, пересечение $ (1, +\infty) $ и $ [\sqrt{2}, +\infty) $ есть $ [\sqrt{2}, +\infty) $.
Общее решение является объединением этих множеств.

Ответ: $ x \in (-\infty, -3) \cup [\sqrt{2}, +\infty) $.

г)

Решим каждое неравенство системы отдельно.

1) Решим неравенство $ x^2 < 25 $.
$ x^2 - 25 < 0 $
$ (x - 5)(x + 5) < 0 $.
Корни $ x = -5 $ и $ x = 5 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями. Решение: $ x \in (-5, 5) $.

2) Решим неравенство $ \frac{x - 1}{x + 3} < 0 $ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x = 1 $ и $ x = -3 $. На интервале $ (-3, 1) $ дробь отрицательна. Решение: $ x \in (-3, 1) $.

3) Найдем пересечение решений: $ (-5, 5) \cap (-3, 1) $. Пересечением этих двух интервалов является интервал $ (-3, 1) $.

Ответ: $ x \in (-3, 1) $.