Номер 28.22, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.22, страница 176.

28.22. a) $3^{1+x} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5;$

б) $2^x \cdot 5^{1-x} + 2^{x+1} \cdot 5^{-x} \ge 2,8.$

а)

Дано неравенство $3^{1+x} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(3^1 \cdot 3^x) \cdot (2^1 \cdot 2^{-x}) + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

$6 \cdot 3^x \cdot 2^{-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

Вынесем общий множитель $3^x \cdot 2^{-x}$ за скобки:

$(6+1) \cdot 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

$7 \cdot \frac{3^x}{2^x} \le 10,5$

$7 \cdot (\frac{3}{2})^x \le 10,5$

Разделим обе части неравенства на 7:

$(\frac{3}{2})^x \le \frac{10,5}{7}$

$(\frac{3}{2})^x \le 1,5$

Представим десятичную дробь 1,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{2}$:

$(\frac{3}{2})^x \le (\frac{3}{2})^1$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция $y = (\frac{3}{2})^x$ является возрастающей. Поэтому при сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x \le 1$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

б)

Дано неравенство $2^x \cdot 5^{1-x} + 2^{x+1} \cdot 5^{-x} \ge 2,8$.

Преобразуем левую часть неравенства по аналогии с предыдущим пунктом:

$2^x \cdot (5^1 \cdot 5^{-x}) + (2^x \cdot 2^1) \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

$5 \cdot 2^x \cdot 5^{-x} + 2 \cdot 2^x \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

Вынесем общий множитель $2^x \cdot 5^{-x}$ за скобки:

$(5+2) \cdot 2^x \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

$7 \cdot \frac{2^x}{5^x} \ge 2,8$

$7 \cdot (\frac{2}{5})^x \ge 2,8$

Разделим обе части неравенства на 7:

$(\frac{2}{5})^x \ge \frac{2,8}{7}$

$(\frac{2}{5})^x \ge 0,4$

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$:

$(\frac{2}{5})^x \ge (\frac{2}{5})^1$

Так как основание степени $0 < \frac{2}{5} < 1$, показательная функция $y = (\frac{2}{5})^x$ является убывающей. Поэтому при сравнении показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 1$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.