Номер 28.21, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.21, страница 176.

Решите неравенство методом введения новой переменной:

28.21. а) $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 \geq 0$;

б) $2 \cdot 5^{2x} - 5^x - 1 \leq 0$.

а) $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 \ge 0$

Данное неравенство является показательным. Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Это позволяет свести неравенство к квадратному с помощью введения новой переменной.

Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то на новую переменную накладывается ограничение: $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное неравенство:

$t^2 - 2t - 3 \ge 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 2t - 3 = 0$.

Используем теорему Виета:

$t_1 + t_2 = 2$

$t_1 \cdot t_2 = -3$

Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Графиком функции $y = t^2 - 2t - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $t^2 - 2t - 3 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится за пределами корней, включая сами корни:

$t \le -1$ или $t \ge 3$.

Теперь учтем ограничение $t > 0$. Из двух полученных промежутков этому условию удовлетворяет только $t \ge 3$.

Выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $3^x$:

$3^x \ge 3$

Представим правую часть в виде степени с основанием 3:

$3^x \ge 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \ge 1$

Решением неравенства является промежуток $[1, +\infty)$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) $2 \cdot 5^{2x} - 5^x - 1 \le 0$

Это показательное неравенство. Преобразуем его, заметив, что $5^{2x} = (5^x)^2$.

$2 \cdot (5^x)^2 - 5^x - 1 \le 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

После замены неравенство принимает вид:

$2t^2 - t - 1 \le 0$

Решим это квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $2t^2 - t - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$

Графиком функции $y = 2t^2 - t - 1$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $2t^2 - t - 1 \le 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями, включая сами корни:

$-\frac{1}{2} \le t \le 1$

Учтем ограничение $t > 0$. Объединяя два условия, получаем:

$0 < t \le 1$

Выполним обратную замену:

$0 < 5^x \le 1$

Неравенство $5^x > 0$ выполняется для всех действительных $x$. Остается решить неравенство $5^x \le 1$.

Представим 1 как степень с основанием 5:

$5^x \le 5^0$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \le 0$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, 0]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.