Страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

29.20. Решите уравнение:

а) $|\frac{x}{x + 2}| + |x^2 - 2x - 8| = \frac{x}{x + 2};$

б) $|\frac{\sin 2x}{x + 4}| + |x^2 - 5x - 24| = -\frac{\sin 2x}{x + 4};$

в) $|\frac{x}{x - 1}| + |\sin 2\pi x + \sin \pi x| = \frac{x}{x - 1};$

г) $|\frac{x}{\sin x}| + |3 \sin x - \sin 3x| = \frac{x}{\sin x}.$

Все уравнения в данной задаче имеют вид $|A| + |B| = A$ или $|A| + |B| = -A$.

Уравнение вида $|A| + |B| = A$ равносильно системе $\begin{cases} A \ge 0 \\ B = 0 \end{cases}$, так как из свойства модуля $|A| \ge A$ и $|B| \ge 0$, поэтому равенство возможно только когда $|A|=A$ (что означает $A \ge 0$) и $|B|=0$ (что означает $B=0$).

Уравнение вида $|A| + |B| = -A$ равносильно системе $\begin{cases} A \le 0 \\ B = 0 \end{cases}$, так как из свойства модуля $|A| \ge -A$ и $|B| \ge 0$, поэтому равенство возможно только когда $|A|=-A$ (что означает $A \le 0$) и $|B|=0$ (что означает $B=0$).

При решении необходимо также учитывать область допустимых значений (ОДЗ) для выражений.

а) $\left|\frac{x}{x + 2}\right| + |x^2 - 2x - 8| = \frac{x}{x + 2}$

Это уравнение вида $|A| + |B| = A$, где $A = \frac{x}{x + 2}$ и $B = x^2 - 2x - 8$. Оно равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{x}{x + 2} \ge 0 \\ x^2 - 2x - 8 = 0 \end{cases} $$ Сначала решим второе уравнение: $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни первому условию системы $\frac{x}{x + 2} \ge 0$. Также учтем ОДЗ: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Для $x_1 = 4$: $\frac{4}{4 + 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. $\frac{2}{3} \ge 0$, это верное неравенство. Следовательно, $x = 4$ является решением.

Для $x_2 = -2$: Этот корень не входит в ОДЗ, так как знаменатель дроби обращается в ноль. Следовательно, $x = -2$ не является решением.

Ответ: $x = 4$.

б) $\left|\frac{\sin 2x}{x + 4}\right| + |x^2 - 5x - 24| = -\frac{\sin 2x}{x + 4}$

Это уравнение вида $|A| + |B| = -A$, где $A = \frac{\sin 2x}{x + 4}$ и $B = x^2 - 5x - 24$. Оно равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{\sin 2x}{x + 4} \le 0 \\ x^2 - 5x - 24 = 0 \end{cases} $$ Сначала решим второе уравнение: $x^2 - 5x - 24 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$. $x_{1,2} = \frac{5 \pm 11}{2}$. $x_1 = \frac{5 + 11}{2} = 8$. $x_2 = \frac{5 - 11}{2} = -3$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни первому условию системы $\frac{\sin 2x}{x + 4} \le 0$. ОДЗ: $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$. Оба корня входят в ОДЗ.

Для $x_1 = 8$: $\frac{\sin(2 \cdot 8)}{8 + 4} = \frac{\sin 16}{12}$. Оценим знак $\sin 16$. Так как $5\pi \approx 5 \cdot 3.14 = 15.7$ и $5.5\pi \approx 5.5 \cdot 3.14 = 17.27$, то $5\pi < 16 < 5.5\pi$. Угол 16 радиан находится в III четверти, где синус отрицателен, т.е. $\sin 16 < 0$. Знаменатель $12 > 0$. Следовательно, $\frac{\sin 16}{12} < 0$. Условие выполнено, $x = 8$ является решением.

Для $x_2 = -3$: $\frac{\sin(2 \cdot (-3))}{-3 + 4} = \frac{\sin(-6)}{1} = -\sin 6$. Оценим знак $\sin 6$. Так как $1.5\pi \approx 1.5 \cdot 3.14 = 4.71$ и $2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28$, то $1.5\pi < 6 < 2\pi$. Угол 6 радиан находится в IV четверти, где синус отрицателен, т.е. $\sin 6 < 0$. Тогда $-\sin 6 > 0$. Условие $\frac{\sin(-6)}{1} \le 0$ не выполнено. Следовательно, $x = -3$ не является решением.

Ответ: $x = 8$.

в) $\left|\frac{x}{x - 1}\right| + |\sin 2\pi x + \sin \pi x| = \frac{x}{x - 1}$

Это уравнение вида $|A| + |B| = A$, где $A = \frac{x}{x - 1}$ и $B = \sin 2\pi x + \sin \pi x$. Оно равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{x}{x - 1} \ge 0 \\ \sin 2\pi x + \sin \pi x = 0 \end{cases} $$ ОДЗ: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Решим первое неравенство $\frac{x}{x - 1} \ge 0$ методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=0$ и $x=1$. Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$.

Решим второе уравнение: $\sin 2\pi x + \sin \pi x = 0$. Используем формулу синуса двойного угла $2\sin \pi x \cos \pi x + \sin \pi x = 0$. Вынесем общий множитель: $\sin \pi x (2\cos \pi x + 1) = 0$. Получаем два случая: 1) $\sin \pi x = 0 \Rightarrow \pi x = k\pi \Rightarrow x = k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2) $2\cos \pi x + 1 = 0 \Rightarrow \cos \pi x = -\frac{1}{2} \Rightarrow \pi x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \Rightarrow x = \pm \frac{2}{3} + 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те решения, которые удовлетворяют условию $x \in (-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$.

Для серии $x = k, k \in \mathbb{Z}$: - Если $k \le 0$, то $x \in (-\infty, 0]$, условие выполнено. - Если $k = 1$, то $x = 1$, что не входит в ОДЗ. - Если $k \ge 2$, то $x \in (1, +\infty)$, условие выполнено. Таким образом, подходят все целые числа, кроме 1: $x \in \mathbb{Z} \setminus \{1\}$.

Для серии $x = \frac{2}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z}$: - Если $n = 0$, $x = 2/3$. $0 < 2/3 < 1$, не подходит. - Если $n \ge 1$, то $x \ge 2/3 + 2 = 8/3 > 1$, подходит. - Если $n \le -1$, то $x \le 2/3 - 2 = -4/3 \le 0$, подходит. Таким образом, подходят $x = \frac{2}{3} + 2n$ для всех $n \in \mathbb{Z}$, кроме $n=0$.

Для серии $x = -\frac{2}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z}$: - Если $n = 0$, $x = -2/3 \le 0$, подходит. - Если $n \ge 1$, то $x \ge -2/3 + 2 = 4/3 > 1$, подходит. - Если $n \le -1$, то $x \le -2/3 - 2 = -8/3 \le 0$, подходит. Таким образом, подходят $x = -\frac{2}{3} + 2n$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x=k, k \in \mathbb{Z}, k \ne 1$; $x = -\frac{2}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{2}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$.

г) $\left|\frac{x}{\sin x}\right| + |3 \sin x - \sin 3x| = \frac{x}{\sin x}$

Это уравнение вида $|A| + |B| = A$, где $A = \frac{x}{\sin x}$ и $B = 3 \sin x - \sin 3x$. Оно равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{x}{\sin x} \ge 0 \\ 3 \sin x - \sin 3x = 0 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется знаменателем: $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq k\pi$ для любого $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второе уравнение системы: $3 \sin x - \sin 3x = 0$. Воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$. Подставим в уравнение: $3 \sin x - (3\sin x - 4\sin^3 x) = 0$ $3 \sin x - 3\sin x + 4\sin^3 x = 0$ $4\sin^3 x = 0$ $\sin x = 0$

Решениями уравнения $\sin x = 0$ являются $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Однако, эти значения не входят в ОДЗ исходного уравнения, так как при этих значениях $x$ знаменатель $\sin x$ обращается в ноль. Таким образом, система не имеет решений.

Ответ: решений нет (пустое множество, $\varnothing$).

29.21. Докажите, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = f(x) + h(x)$ равносильно системе $ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ h(x) \ge 0. \end{cases} $

Для доказательства равносильности уравнения $|f(x)| + |h(x)| = f(x) + h(x)$ и системы $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ h(x) \ge 0 \end{cases}$ необходимо показать, что любое решение уравнения является решением системы, и наоборот.

Доказательство состоит из двух частей.

1. Доказательство того, что из системы следует уравнение.

Предположим, что выполняются условия системы, то есть $f(x) \ge 0$ и $h(x) \ge 0$.

По определению модуля, если значение выражения неотрицательно, его модуль равен самому выражению. Следовательно, из $f(x) \ge 0$ следует, что $|f(x)| = f(x)$, а из $h(x) \ge 0$ следует, что $|h(x)| = h(x)$.

Подставим эти равенства в левую часть исходного уравнения:

$|f(x)| + |h(x)| = f(x) + h(x)$.

В результате мы получаем тождество $f(x) + h(x) = f(x) + h(x)$, которое является верным. Таким образом, если система выполняется, то и уравнение верно.

2. Доказательство того, что из уравнения следует система.

Предположим, что выполняется равенство $|f(x)| + |h(x)| = f(x) + h(x)$.

Известно фундаментальное свойство модуля: для любого действительного числа $a$ всегда справедливо неравенство $|a| \ge a$. Равенство в этом соотношении достигается тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.

Применим это свойство к функциям $f(x)$ и $h(x)$:

$|f(x)| \ge f(x)$

$|h(x)| \ge h(x)$

Сложим эти два неравенства почленно:

$|f(x)| + |h(x)| \ge f(x) + h(x)$

Теперь сравним полученное неравенство с исходным уравнением. По условию, в данном неравенстве достигается знак равенства. Сумма двух слагаемых в левой части равна сумме двух слагаемых в правой. Это возможно тогда и только тогда, когда равенство достигается в каждом из исходных неравенств, которые мы складывали:

$|f(x)| = f(x)$ и $|h(x)| = h(x)$.

Как было упомянуто, равенство $|a| = a$ выполняется только при условии, что $a \ge 0$. Следовательно, из полученных равенств следует:

$f(x) \ge 0$ и $h(x) \ge 0$.

Это и есть требуемая система неравенств.

Поскольку мы доказали, что из выполнения системы следует верность уравнения, и из верности уравнения следует выполнение системы, то уравнение и система равносильны.

Ответ: Утверждение доказано.

29.22. Решите уравнение:

а) $|x^2 + 2x - 3| + |-x^2 + 2x + 8| = 4x + 5;$

б) $|\frac{x^2}{x - 1} - x| + |\frac{x}{x - 1} - 2| = \frac{x^2}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} - x - 2;$

в) $|x^3 - 4x| + |5x^2 - x^3| = 5x^2 - 4x;$

г) $|\frac{x + 1}{x} + 4| + |\frac{4 - x}{x} - 3x| = 4 - 3x + \frac{5}{x}.$

а) $|x^2 + 2x - 3| + |-x^2 + 2x + 8| = 4x + 5$

Данное уравнение имеет вид $|a| + |b| = c$. Заметим, что сумма выражений под модулями равна правой части уравнения.

Пусть $a = x^2 + 2x - 3$ и $b = -x^2 + 2x + 8$.

Тогда $a + b = (x^2 + 2x - 3) + (-x^2 + 2x + 8) = 4x + 5$.

Уравнение принимает вид $|a| + |b| = a + b$.

Это равенство верно тогда и только тогда, когда оба выражения под знаком модуля неотрицательны, то есть $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 2x - 3 \geq 0 \\ -x^2 + 2x + 8 \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 2x - 3 \geq 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $-x^2 + 2x + 8 \geq 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 2x - 8 \leq 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 2x - 8 \leq 0$ выполняется между корнями, то есть при $x \in [-2, 4]$.

Теперь найдём пересечение решений системы неравенств:

$((-\infty, -3] \cup [1, +\infty)) \cap [-2, 4]$.

Пересечение даёт промежуток $[1, 4]$.

Ответ: $x \in [1, 4]$.

б) $|\frac{x^2}{x - 1} - x| + |\frac{x}{x - 1} - 2| = \frac{x^2}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} - x - 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Пусть $a = \frac{x^2}{x - 1} - x$ и $b = \frac{x}{x - 1} - 2$.

Проверим сумму $a+b$:

$a + b = (\frac{x^2}{x - 1} - x) + (\frac{x}{x - 1} - 2) = \frac{x^2}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} - x - 2$.

Сумма $a+b$ в точности равна правой части уравнения. Таким образом, уравнение имеет вид $|a| + |b| = a + b$.

Это равенство выполняется при условии, что $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x^2}{x - 1} - x \geq 0 \\ \frac{x}{x - 1} - 2 \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\frac{x^2 - x(x - 1)}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{x^2 - x^2 + x}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{x}{x - 1} \geq 0$.

Методом интервалов находим, что решение: $x \in (-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{x - 2(x - 1)}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{x - 2x + 2}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{2 - x}{x - 1} \geq 0$.

Методом интервалов находим, что решение: $x \in (1, 2]$.

Найдём пересечение решений системы:

$((-\infty, 0] \cup (1, +\infty)) \cap (1, 2]$.

Пересечением является промежуток $(1, 2]$.

Ответ: $x \in (1, 2]$.

в) $|x^3 - 4x| + |5x^2 - x^3| = 5x^2 - 4x$

Пусть $a = x^3 - 4x$ и $b = 5x^2 - x^3$.

Найдём их сумму: $a + b = (x^3 - 4x) + (5x^2 - x^3) = 5x^2 - 4x$.

Уравнение снова принимает вид $|a| + |b| = a + b$, что эквивалентно системе неравенств $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

$\begin{cases} x^3 - 4x \geq 0 \\ 5x^2 - x^3 \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x(x^2 - 4) \geq 0 \Rightarrow x(x - 2)(x + 2) \geq 0$.

Методом интервалов получаем решение: $x \in [-2, 0] \cup [2, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2(5 - x) \geq 0$.

Поскольку $x^2 \geq 0$ для любого $x$, неравенство сводится к $5 - x \geq 0$ (и отдельно рассматривается случай $x=0$, который уже удовлетворяет $x^2=0$).

Из $5 - x \geq 0$ следует $x \leq 5$. Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 5]$.

Найдём пересечение решений системы:

$([-2, 0] \cup [2, +\infty)) \cap (-\infty, 5]$.

Пересечение первого промежутка: $[-2, 0] \cap (-\infty, 5] = [-2, 0]$.

Пересечение второго промежутка: $[2, +\infty) \cap (-\infty, 5] = [2, 5]$.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-2, 0] \cup [2, 5]$.

г) $|\frac{x + 1}{x} + 4| + |\frac{4 - x}{x} - 3x| = 4 - 3x + \frac{5}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Преобразуем выражения под модулями и правую часть.

Пусть $a = \frac{x + 1}{x} + 4 = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + 4 = 1 + \frac{1}{x} + 4 = 5 + \frac{1}{x}$.

Пусть $b = \frac{4 - x}{x} - 3x = \frac{4}{x} - \frac{x}{x} - 3x = \frac{4}{x} - 1 - 3x$.

Найдём сумму $a + b$: $a + b = (5 + \frac{1}{x}) + (\frac{4}{x} - 1 - 3x) = 4 + \frac{5}{x} - 3x$.

Правая часть уравнения $4 - 3x + \frac{5}{x}$ совпадает с $a+b$.

Следовательно, уравнение имеет вид $|a| + |b| = a + b$, что равносильно системе $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

$\begin{cases} 5 + \frac{1}{x} \geq 0 \\ \frac{4}{x} - 1 - 3x \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $5 + \frac{1}{x} \geq 0 \Rightarrow \frac{5x + 1}{x} \geq 0$.

Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty, -1/5] \cup (0, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{4}{x} - 1 - 3x \geq 0 \Rightarrow \frac{4 - x - 3x^2}{x} \geq 0 \Rightarrow \frac{-(3x^2 + x - 4)}{x} \geq 0$.

Разделим на -1, изменив знак: $\frac{3x^2 + x - 4}{x} \leq 0$.

Найдём корни числителя $3x^2 + x - 4 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(3)(-4) = 49$. Корни $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 7}{6}$, то есть $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{4}{3}$.

Неравенство принимает вид $\frac{3(x - 1)(x + 4/3)}{x} \leq 0$.

Методом интервалов для точек $-\frac{4}{3}, 0, 1$ находим решение: $x \in (-\infty, -4/3] \cup (0, 1]$.

Найдём пересечение решений системы:

$((-\infty, -1/5] \cup (0, +\infty)) \cap ((-\infty, -4/3] \cup (0, 1])$.

Пересечение $(-\infty, -1/5]$ и $(-\infty, -4/3]$ (учитывая, что $-4/3 \approx -1.33$ и $-1/5 = -0.2$) даёт $(-\infty, -4/3]$.

Пересечение $(0, +\infty)$ и $(0, 1]$ даёт $(0, 1]$.

Объединяем полученные множества.

Ответ: $x \in (-\infty, -4/3] \cup (0, 1]$.

29.23. Докажите, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = |f(x) + h(x)|$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) \ge 0$.

Для доказательства того, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = |f(x) + h(x)|$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) \geq 0$, мы воспользуемся методом равносильных преобразований.

Рассмотрим исходное уравнение: $$ |f(x)| + |h(x)| = |f(x) + h(x)| $$

Поскольку обе части этого уравнения неотрицательны (так как модуль числа и сумма модулей всегда $\geq 0$), мы можем возвести их в квадрат. Это преобразование является равносильным для неотрицательных выражений. $$ (|f(x)| + |h(x)|)^2 = (|f(x) + h(x)|)^2 $$

Раскроем скобки в левой и правой частях, используя свойства модуля $|a|^2 = a^2$ и $|a| \cdot |b| = |ab|$.
Левая часть: $$ (|f(x)| + |h(x)|)^2 = |f(x)|^2 + 2|f(x)||h(x)| + |h(x)|^2 = f(x)^2 + 2|f(x)h(x)| + h(x)^2 $$ Правая часть: $$ (|f(x) + h(x)|)^2 = (f(x) + h(x))^2 = f(x)^2 + 2f(x)h(x) + h(x)^2 $$

Приравниваем полученные выражения: $$ f(x)^2 + 2|f(x)h(x)| + h(x)^2 = f(x)^2 + 2f(x)h(x) + h(x)^2 $$

Вычтем из обеих частей уравнения одинаковые слагаемые $f(x)^2$ и $h(x)^2$: $$ 2|f(x)h(x)| = 2f(x)h(x) $$ Разделим обе части на 2, что является равносильным преобразованием: $$ |f(x)h(x)| = f(x)h(x) $$

По определению модуля, равенство вида $|A| = A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение, стоящее под знаком модуля, неотрицательно, то есть $A \geq 0$. В нашем случае $A = f(x) \cdot h(x)$, следовательно, полученное уравнение равносильно неравенству: $$ f(x) \cdot h(x) \geq 0 $$

Таким образом, мы построили цепочку равносильных преобразований, которая связывает исходное уравнение с итоговым неравенством. Это доказывает их равносильность.

Ответ: Утверждение доказано.

29.24. Решите уравнение:

а) $|x^2 + 4x| + |-x^2 + 9| = |4x + 9|;$

б) $|\frac{(x+1)^2}{x} - x - 1| + |\frac{x+1}{x} - 2| = |\frac{(x+1)^2}{x} + \frac{x+1}{x} - x - 3|;$

в) $|x^3 + 3x^2 - x - 3| + |2x^2 - x^3 + 7x + 4| = |5x^2 + 6x + 1|;$

г) $|\frac{x+2}{x+1} + 4| + |\frac{3-x}{x+1} - 3x - 3| = |1 - 3x + \frac{5}{x+1}|.$

а)

Исходное уравнение: $|x^2 + 4x| + |-x^2 + 9| = |4x + 9|$.

Заметим, что это уравнение вида $|A| + |B| = |C|$. Проверим, выполняется ли соотношение $A+B=C$ или $A-B=C$.

Пусть $A = x^2 + 4x$ и $B = -x^2 + 9$.

Тогда их сумма $A+B = (x^2 + 4x) + (-x^2 + 9) = 4x + 9$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде $|A| + |B| = |A+B|$.

Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда выражения $A$ и $B$ имеют одинаковый знак, то есть их произведение неотрицательно: $A \cdot B \ge 0$.

Получаем неравенство:

$(x^2 + 4x)(-x^2 + 9) \ge 0$

Вынесем минус за скобки во втором множителе:

$-(x^2 + 4x)(x^2 - 9) \ge 0$

Разделим на -1 и сменим знак неравенства:

$(x^2 + 4x)(x^2 - 9) \le 0$

Разложим на множители:

$x(x+4)(x-3)(x+3) \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x=-4, x=-3, x=0, x=3$.

Нанесем эти точки на числовую прямую и определим знаки произведения на каждом интервале:

Нам нужны интервалы со знаком "минус", а также сами корни, так как неравенство нестрогое.

Следовательно, решением является объединение отрезков: $x \in [-4, -3] \cup [0, 3]$.

Ответ: $x \in [-4, -3] \cup [0, 3]$.

б)

Исходное уравнение: $|\frac{(x+1)^2}{x} - x - 1| + |\frac{x+1}{x} - 2| = |\frac{(x+1)^2}{x} + \frac{x+1}{x} - x - 3|$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Упростим выражения под знаками модуля. Пусть $A = \frac{(x+1)^2}{x} - x - 1$ и $B = \frac{x+1}{x} - 2$.

$A = \frac{x^2+2x+1}{x} - \frac{x^2+x}{x} = \frac{x^2+2x+1-x^2-x}{x} = \frac{x+1}{x}$.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

$\frac{(x+1)^2}{x} + \frac{x+1}{x} - x - 3 = \left(\frac{(x+1)^2}{x} - x - 1\right) + \left(\frac{x+1}{x} - 2\right) = A+B$.

Таким образом, уравнение принимает вид $|A| + |B| = |A+B|$, где $A = \frac{x+1}{x}$ и $B = \frac{x+1}{x} - 2$.

Это равенство выполняется, когда $A \cdot B \ge 0$.

Составим и решим неравенство:

$\left(\frac{x+1}{x}\right) \cdot \left(\frac{x+1}{x} - 2\right) \ge 0$

$\left(\frac{x+1}{x}\right) \cdot \left(\frac{x+1-2x}{x}\right) \ge 0$

$\frac{(x+1)(1-x)}{x^2} \ge 0$

Так как $x^2 > 0$ при $x \ne 0$, мы можем умножить обе части на $x^2$, не меняя знака неравенства:

$(x+1)(1-x) \ge 0$

$-(x+1)(x-1) \ge 0$

$(x+1)(x-1) \le 0$

Корнями являются $x=-1$ и $x=1$. Графиком функции $y=(x+1)(x-1)$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in [-1, 1]$.

Учитывая ОДЗ ($x \ne 0$), получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

в)

Исходное уравнение: $|x^3 + 3x^2 - x - 3| + |2x^2 - x^3 + 7x + 4| = |5x^2 + 6x + 1|$.

Снова видим структуру $|A| + |B| = |C|$.

Пусть $A = x^3 + 3x^2 - x - 3$ и $B = 2x^2 - x^3 + 7x + 4$.

Найдем их сумму:

$A+B = (x^3 + 3x^2 - x - 3) + (2x^2 - x^3 + 7x + 4) = 5x^2 + 6x + 1$.

Уравнение имеет вид $|A| + |B| = |A+B|$, что эквивалентно условию $A \cdot B \ge 0$.

$(x^3 + 3x^2 - x - 3)(2x^2 - x^3 + 7x + 4) \ge 0$.

Разложим на множители каждый многочлен.

$A = x^2(x+3) - (x+3) = (x^2-1)(x+3) = (x-1)(x+1)(x+3)$.

$B = -x^3 + 2x^2 + 7x + 4$. Проверкой делителей свободного члена находим корень $x=-1$: $B(-1) = -(-1)+2(1)+7(-1)+4 = 1+2-7+4=0$. Также корнем является $x=4$: $B(4)=-64+2(16)+7(4)+4 = -64+32+28+4=0$. По теореме Виета, третий корень также равен -1 (двойной корень). Тогда $B = -(x-4)(x+1)^2$.

Подставим разложения в неравенство:

$(x-1)(x+1)(x+3) \cdot (-(x-4)(x+1)^2) \ge 0$

$-(x-1)(x+3)(x-4)(x+1)^3 \ge 0$

$(x-1)(x+3)(x-4)(x+1)^3 \le 0$

Решаем методом интервалов. Корни: $x=-3, x=-1$ (кратность 3), $x=1, x=4$.

Так как все корни нечетной кратности, знак будет меняться при переходе через каждый корень.

Для $x>4$ все множители положительны, произведение положительно.

Интервалы, где произведение $\le 0$: $[-3, -1]$ и $[1, 4]$.

Ответ: $x \in [-3, -1] \cup [1, 4]$.

г)

Исходное уравнение: $|\frac{x+2}{x+1} + 4| + |\frac{3-x}{x+1} - 3x - 3| = |1 - 3x + \frac{5}{x+1}|$.

ОДЗ: $x \ne -1$.

Упростим выражения в модулях.

Пусть $A = \frac{x+2}{x+1} + 4 = \frac{x+2+4(x+1)}{x+1} = \frac{x+2+4x+4}{x+1} = \frac{5x+6}{x+1}$.

Пусть $B = \frac{3-x}{x+1} - 3x - 3 = \frac{3-x}{x+1} - 3(x+1) = \frac{3-x-3(x+1)^2}{x+1} = \frac{3-x-3(x^2+2x+1)}{x+1} = \frac{-3x^2-7x}{x+1}$.

Проверим правую часть. Пусть $C = 1 - 3x + \frac{5}{x+1} = \frac{(1-3x)(x+1)+5}{x+1} = \frac{x+1-3x^2-3x+5}{x+1} = \frac{-3x^2-2x+6}{x+1}$.

Проверим сумму $A+B$:

$A+B = \frac{5x+6}{x+1} + \frac{-3x^2-7x}{x+1} = \frac{5x+6-3x^2-7x}{x+1} = \frac{-3x^2-2x+6}{x+1} = C$.

Уравнение имеет вид $|A| + |B| = |A+B|$, что равносильно $A \cdot B \ge 0$.

$\left(\frac{5x+6}{x+1}\right) \cdot \left(\frac{-3x^2-7x}{x+1}\right) \ge 0$

$\frac{(5x+6)(-3x^2-7x)}{(x+1)^2} \ge 0$

Поскольку $(x+1)^2 > 0$ при $x \ne -1$, неравенство сводится к:

$(5x+6)(-3x^2-7x) \ge 0$

$(5x+6)(-x(3x+7)) \ge 0$

$-x(5x+6)(3x+7) \ge 0$

$x(5x+6)(3x+7) \le 0$

Решаем методом интервалов. Корни: $x=0, x=-6/5, x=-7/3$.

Расположим корни на числовой оси: $-7/3, -6/5, 0$. ($ -2.33..., -1.2, 0$).

Определим знаки на интервалах:

• При $x>0$: $(+)(+)(+)$, итоговый знак $+$.
• При $x \in (-6/5, 0)$: $(-)(+)(+)$, итоговый знак $-$.
• При $x \in (-7/3, -6/5)$: $(-)(-)(+)$, итоговый знак $+$.
• При $x < -7/3$: $(-)(-)(-)$, итоговый знак $-$.

Нам нужны интервалы со знаком "минус". С учетом того, что неравенство нестрогое, получаем: $x \in (-\infty, -7/3] \cup [-6/5, 0]$.

Исключим из решения значение $x=-1$ из ОДЗ. Точка $x=-1$ попадает в отрезок $[-6/5, 0]$, так как $-1.2 \le -1 \le 0$.

Таким образом, разбиваем этот отрезок на два интервала.

Ответ: $x \in (-\infty, -7/3] \cup [-6/5, -1) \cup (-1, 0]$.