Номер 29.24, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.24, страница 183.

29.24. Решите уравнение:

а) $|x^2 + 4x| + |-x^2 + 9| = |4x + 9|;$

б) $|\frac{(x+1)^2}{x} - x - 1| + |\frac{x+1}{x} - 2| = |\frac{(x+1)^2}{x} + \frac{x+1}{x} - x - 3|;$

в) $|x^3 + 3x^2 - x - 3| + |2x^2 - x^3 + 7x + 4| = |5x^2 + 6x + 1|;$

г) $|\frac{x+2}{x+1} + 4| + |\frac{3-x}{x+1} - 3x - 3| = |1 - 3x + \frac{5}{x+1}|.$

а)

Исходное уравнение: $|x^2 + 4x| + |-x^2 + 9| = |4x + 9|$.

Заметим, что это уравнение вида $|A| + |B| = |C|$. Проверим, выполняется ли соотношение $A+B=C$ или $A-B=C$.

Пусть $A = x^2 + 4x$ и $B = -x^2 + 9$.

Тогда их сумма $A+B = (x^2 + 4x) + (-x^2 + 9) = 4x + 9$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде $|A| + |B| = |A+B|$.

Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда выражения $A$ и $B$ имеют одинаковый знак, то есть их произведение неотрицательно: $A \cdot B \ge 0$.

Получаем неравенство:

$(x^2 + 4x)(-x^2 + 9) \ge 0$

Вынесем минус за скобки во втором множителе:

$-(x^2 + 4x)(x^2 - 9) \ge 0$

Разделим на -1 и сменим знак неравенства:

$(x^2 + 4x)(x^2 - 9) \le 0$

Разложим на множители:

$x(x+4)(x-3)(x+3) \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x=-4, x=-3, x=0, x=3$.

Нанесем эти точки на числовую прямую и определим знаки произведения на каждом интервале:

Нам нужны интервалы со знаком "минус", а также сами корни, так как неравенство нестрогое.

Следовательно, решением является объединение отрезков: $x \in [-4, -3] \cup [0, 3]$.

Ответ: $x \in [-4, -3] \cup [0, 3]$.

---

б)

Исходное уравнение: $|\frac{(x+1)^2}{x} - x - 1| + |\frac{x+1}{x} - 2| = |\frac{(x+1)^2}{x} + \frac{x+1}{x} - x - 3|$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Упростим выражения под знаками модуля. Пусть $A = \frac{(x+1)^2}{x} - x - 1$ и $B = \frac{x+1}{x} - 2$.

$A = \frac{x^2+2x+1}{x} - \frac{x^2+x}{x} = \frac{x^2+2x+1-x^2-x}{x} = \frac{x+1}{x}$.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

$\frac{(x+1)^2}{x} + \frac{x+1}{x} - x - 3 = \left(\frac{(x+1)^2}{x} - x - 1\right) + \left(\frac{x+1}{x} - 2\right) = A+B$.

Таким образом, уравнение принимает вид $|A| + |B| = |A+B|$, где $A = \frac{x+1}{x}$ и $B = \frac{x+1}{x} - 2$.

Это равенство выполняется, когда $A \cdot B \ge 0$.

Составим и решим неравенство:

$\left(\frac{x+1}{x}\right) \cdot \left(\frac{x+1}{x} - 2\right) \ge 0$

$\left(\frac{x+1}{x}\right) \cdot \left(\frac{x+1-2x}{x}\right) \ge 0$

$\frac{(x+1)(1-x)}{x^2} \ge 0$

Так как $x^2 > 0$ при $x \ne 0$, мы можем умножить обе части на $x^2$, не меняя знака неравенства:

$(x+1)(1-x) \ge 0$

$-(x+1)(x-1) \ge 0$

$(x+1)(x-1) \le 0$

Корнями являются $x=-1$ и $x=1$. Графиком функции $y=(x+1)(x-1)$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in [-1, 1]$.

Учитывая ОДЗ ($x \ne 0$), получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

---

в)

Исходное уравнение: $|x^3 + 3x^2 - x - 3| + |2x^2 - x^3 + 7x + 4| = |5x^2 + 6x + 1|$.

Снова видим структуру $|A| + |B| = |C|$.

Пусть $A = x^3 + 3x^2 - x - 3$ и $B = 2x^2 - x^3 + 7x + 4$.

Найдем их сумму:

$A+B = (x^3 + 3x^2 - x - 3) + (2x^2 - x^3 + 7x + 4) = 5x^2 + 6x + 1$.

Уравнение имеет вид $|A| + |B| = |A+B|$, что эквивалентно условию $A \cdot B \ge 0$.

$(x^3 + 3x^2 - x - 3)(2x^2 - x^3 + 7x + 4) \ge 0$.

Разложим на множители каждый многочлен.

$A = x^2(x+3) - (x+3) = (x^2-1)(x+3) = (x-1)(x+1)(x+3)$.

$B = -x^3 + 2x^2 + 7x + 4$. Проверкой делителей свободного члена находим корень $x=-1$: $B(-1) = -(-1)+2(1)+7(-1)+4 = 1+2-7+4=0$. Также корнем является $x=4$: $B(4)=-64+2(16)+7(4)+4 = -64+32+28+4=0$. По теореме Виета, третий корень также равен -1 (двойной корень). Тогда $B = -(x-4)(x+1)^2$.

Подставим разложения в неравенство:

$(x-1)(x+1)(x+3) \cdot (-(x-4)(x+1)^2) \ge 0$

$-(x-1)(x+3)(x-4)(x+1)^3 \ge 0$

$(x-1)(x+3)(x-4)(x+1)^3 \le 0$

Решаем методом интервалов. Корни: $x=-3, x=-1$ (кратность 3), $x=1, x=4$.

Так как все корни нечетной кратности, знак будет меняться при переходе через каждый корень.

Для $x>4$ все множители положительны, произведение положительно.

Интервалы, где произведение $\le 0$: $[-3, -1]$ и $[1, 4]$.

Ответ: $x \in [-3, -1] \cup [1, 4]$.

---

г)

Исходное уравнение: $|\frac{x+2}{x+1} + 4| + |\frac{3-x}{x+1} - 3x - 3| = |1 - 3x + \frac{5}{x+1}|$.

ОДЗ: $x \ne -1$.

Упростим выражения в модулях.

Пусть $A = \frac{x+2}{x+1} + 4 = \frac{x+2+4(x+1)}{x+1} = \frac{x+2+4x+4}{x+1} = \frac{5x+6}{x+1}$.

Пусть $B = \frac{3-x}{x+1} - 3x - 3 = \frac{3-x}{x+1} - 3(x+1) = \frac{3-x-3(x+1)^2}{x+1} = \frac{3-x-3(x^2+2x+1)}{x+1} = \frac{-3x^2-7x}{x+1}$.

Проверим правую часть. Пусть $C = 1 - 3x + \frac{5}{x+1} = \frac{(1-3x)(x+1)+5}{x+1} = \frac{x+1-3x^2-3x+5}{x+1} = \frac{-3x^2-2x+6}{x+1}$.

Проверим сумму $A+B$:

$A+B = \frac{5x+6}{x+1} + \frac{-3x^2-7x}{x+1} = \frac{5x+6-3x^2-7x}{x+1} = \frac{-3x^2-2x+6}{x+1} = C$.

Уравнение имеет вид $|A| + |B| = |A+B|$, что равносильно $A \cdot B \ge 0$.

$\left(\frac{5x+6}{x+1}\right) \cdot \left(\frac{-3x^2-7x}{x+1}\right) \ge 0$

$\frac{(5x+6)(-3x^2-7x)}{(x+1)^2} \ge 0$

Поскольку $(x+1)^2 > 0$ при $x \ne -1$, неравенство сводится к:

$(5x+6)(-3x^2-7x) \ge 0$

$(5x+6)(-x(3x+7)) \ge 0$

$-x(5x+6)(3x+7) \ge 0$

$x(5x+6)(3x+7) \le 0$

Решаем методом интервалов. Корни: $x=0, x=-6/5, x=-7/3$.

Расположим корни на числовой оси: $-7/3, -6/5, 0$. ($ -2.33..., -1.2, 0$).

Определим знаки на интервалах:

• При $x>0$: $(+)(+)(+)$, итоговый знак $+$.
• При $x \in (-6/5, 0)$: $(-)(+)(+)$, итоговый знак $-$.
• При $x \in (-7/3, -6/5)$: $(-)(-)(+)$, итоговый знак $+$.
• При $x < -7/3$: $(-)(-)(-)$, итоговый знак $-$.

Нам нужны интервалы со знаком "минус". С учетом того, что неравенство нестрогое, получаем: $x \in (-\infty, -7/3] \cup [-6/5, 0]$.

Исключим из решения значение $x=-1$ из ОДЗ. Точка $x=-1$ попадает в отрезок $[-6/5, 0]$, так как $-1.2 \le -1 \le 0$.

Таким образом, разбиваем этот отрезок на два интервала.

Ответ: $x \in (-\infty, -7/3] \cup [-6/5, -1) \cup (-1, 0]$.