Номер 29.30, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.30, страница 184.

Решите неравенство:

29.30. a) $|x - \frac{4}{x}| \ge -1;$

б) $|\frac{x}{\sqrt{12x - x^2}} - \sqrt{x^2 - 2x - 8}| > \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{10}.$

а) $|x - \frac{4}{x}| \ge -1$

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной. То есть, для любого выражения $A$, которое может быть вычислено, $|A| \ge 0$.

В данном неравенстве левая часть $|x - \frac{4}{x}|$ всегда будет больше или равна нулю. Правая часть неравенства равна $-1$.

Поскольку любое неотрицательное число всегда больше или равно любому отрицательному числу (в данном случае $0 \ge -1$), неравенство выполняется для всех значений $x$, при которых выражение $x - \frac{4}{x}$ имеет смысл.

Выражение $x - \frac{4}{x}$ определено для всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x \neq 0$

Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) $|\frac{x}{\sqrt{12x - x^2}} - \sqrt{x^2 - 2x - 8}| > \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{10}$

Как и в предыдущем пункте, левая часть неравенства представляет собой модуль, который всегда неотрицателен.

Оценим знак правой части неравенства: $\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{10}$.
Сравним $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{10}$. Поскольку обе части положительны, мы можем сравнить их квадраты:
$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$.
$(\sqrt{10})^2 = 10$.
Теперь сравним $5 + 2\sqrt{6}$ и $10$. Вычтем 5 из обеих частей, чтобы сравнить $2\sqrt{6}$ и $5$.
Снова возведем в квадрат (обе части положительны):
$(2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.
$5^2 = 25$.
Поскольку $24 < 25$, то $2\sqrt{6} < 5$, следовательно $5 + 2\sqrt{6} < 10$, и, наконец, $\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{10}$.

Это означает, что правая часть неравенства является отрицательным числом: $\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{10} < 0$.

Неравенство имеет вид $|A| > B$, где $B$ — отрицательное число. Так как $|A| \ge 0$ для любого $A$, а $B < 0$, то неравенство $|A| > B$ будет выполняться всегда, когда выражение $A$ определено.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для выражения в левой части. Для этого необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны, а знаменатель не был равен нулю. Это сводится к системе неравенств: $$ \begin{cases} 12x - x^2 > 0 \\ x^2 - 2x - 8 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $12x - x^2 > 0$.
$x(12 - x) > 0$.
Корни уравнения $x(12-x)=0$ это $x_1=0$ и $x_2=12$. Ветви параболы $y = -x^2+12x$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями.
$x \in (0; 12)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 2x - 8 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Неравенство можно записать как $(x-4)(x+2) \ge 0$. Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 8$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
$x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую область определения.
Нам нужно найти пересечение множеств $(0; 12)$ и $(-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$.
Пересекая $(0; 12)$ с $(-\infty; -2]$, получаем пустое множество.
Пересекая $(0; 12)$ с $[4; +\infty)$, получаем интервал $[4; 12)$.

Таким образом, ОДЗ всего выражения: $x \in [4; 12)$. Поскольку неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ, это и есть решение.

Ответ: $x \in [4; 12)$