Номер 29.26, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.26, страница 184.

Решите неравенство:

29.26. а) $|x| < 7;$

б) $|x + 5| > 7;$

в) $|x - 8| < 7;$

г) $|5x - 1| > 1.$

а) Неравенство вида $|A| < B$ (где $B>0$) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$. В данном случае неравенство $|x| < 7$ можно переписать как:

$-7 < x < 7$

Это означает, что решением является интервал от -7 до 7, не включая концы.
Ответ: $(-7; 7)$.

б) Неравенство вида $|A| > B$ (где $B>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$. Для неравенства $|x + 5| > 7$ получаем совокупность:

$ \begin{bmatrix} x + 5 > 7 \\ x + 5 < -7 \end{bmatrix} $

Решаем каждое неравенство отдельно:

1) Из $x + 5 > 7$ следует $x > 7 - 5$, то есть $x > 2$.

2) Из $x + 5 < -7$ следует $x < -7 - 5$, то есть $x < -12$.

Объединяя эти два условия, получаем решение в виде двух интервалов.
Ответ: $(-\infty; -12) \cup (2; +\infty)$.

в) Неравенство $|x - 8| < 7$ решается так же, как и в пункте а). Оно равносильно двойному неравенству:

$-7 < x - 8 < 7$

Чтобы найти $x$, прибавим 8 ко всем частям этого неравенства:

$-7 + 8 < x - 8 + 8 < 7 + 8$

$1 < x < 15$

Решением является интервал от 1 до 15.
Ответ: $(1; 15)$.

г) Неравенство $|5x - 1| > 1$ решается так же, как и в пункте б). Оно равносильно совокупности:

$ \begin{bmatrix} 5x - 1 > 1 \\ 5x - 1 < -1 \end{bmatrix} $

Решаем каждое неравенство отдельно:

1) Из $5x - 1 > 1$ следует $5x > 2$, то есть $x > \frac{2}{5}$.

2) Из $5x - 1 < -1$ следует $5x < 0$, то есть $x < 0$.

Объединяем решения.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (\frac{2}{5}; +\infty)$.