Номер 29.29, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.29, страница 184.

○29.29. а) Докажите, что при $a < 0$ множество решений неравенства $|f(x)| > a$ совпадает с множеством $D(f)$ – областью определения выражения $f(x)$.

б) Докажите, что множество решений неравенства $|f(x)| > g(x)$ совпадает с множеством решений совокупности $\begin{cases} f(x) > g(x); \\ f(x) < -g(x). \end{cases}$

а)

Рассмотрим неравенство $|f(x)| > a$ при условии $a < 0$.

По определению, модуль любого действительного числа (или выражения) является неотрицательной величиной. То есть, для любого $x$ из области определения функции $f(x)$, значение $|f(x)|$ всегда удовлетворяет условию: $|f(x)| \ge 0$.

Нам дано, что число $a$ является отрицательным, то есть $a < 0$.

Сравним левую и правую части исходного неравенства. Левая часть $|f(x)|$ — неотрицательное число, а правая часть $a$ — отрицательное число. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа.

Следовательно, неравенство $|f(x)| > a$ будет верным для любого значения $x$, при котором выражение $f(x)$ имеет смысл (т.е. определено). Множество всех таких значений $x$ и называется областью определения функции $f(x)$, которая обозначается как $D(f)$.

Таким образом, множество решений неравенства $|f(x)| > a$ при $a < 0$ совпадает с областью определения $D(f)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Рассмотрим неравенство $|f(x)| > g(x)$ и совокупность $\begin{cases} f(x) > g(x); \\ f(x) < -g(x). \end{cases}$

Для доказательства того, что множества их решений совпадают, рассмотрим два возможных случая для значений функции $g(x)$. Решение исходного неравенства будет объединением решений, найденных в этих двух случаях.

Случай 1: $g(x) < 0$.

В этом случае правая часть неравенства $|f(x)| > g(x)$ является отрицательной. Левая часть, $|f(x)|$, по определению модуля, всегда неотрицательна: $|f(x)| \ge 0$. Неравенство "неотрицательное число > отрицательное число" всегда истинно. Следовательно, при $g(x) < 0$ решением неравенства являются все $x$ из области определения функций $f(x)$ и $g(x)$, удовлетворяющие условию $g(x) < 0$.

Теперь рассмотрим совокупность. Если $g(x) < 0$, то $-g(x) > 0$. Первое неравенство совокупности, $f(x) > g(x)$, истинно для любого действительного значения $f(x)$, так как любое действительное число больше некоторого отрицательного числа $g(x)$. Так как для решения совокупности достаточно выполнения хотя бы одного из неравенств, то все $x$, для которых $g(x) < 0$, являются решениями совокупности.

Таким образом, в случае $g(x) < 0$ множества решений неравенства и совокупности совпадают.

Случай 2: $g(x) \ge 0$.

В этом случае обе части неравенства $|f(x)| > g(x)$ неотрицательны. Такое неравенство равносильно возведению обеих частей в квадрат: $|f(x)|^2 > (g(x))^2$ $f(x)^2 > g(x)^2$ $f(x)^2 - g(x)^2 > 0$ $(f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) > 0$

Это неравенство равносильно совокупности двух систем: $\begin{cases} f(x) - g(x) > 0 \\ f(x) + g(x) > 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} f(x) - g(x) < 0 \\ f(x) + g(x) < 0 \end{cases}$

Что эквивалентно совокупности: $\begin{cases} f(x) > g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$ или $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) < -g(x) \end{cases}$

Так как по условию этого случая $g(x) \ge 0$, то $-g(x) \le 0$, и значит $g(x) \ge -g(x)$.

Тогда первая система $\begin{cases} f(x) > g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$ равносильна одному неравенству $f(x) > g(x)$.

Вторая система $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) < -g(x) \end{cases}$ равносильна одному неравенству $f(x) < -g(x)$.

Таким образом, при $g(x) \ge 0$ исходное неравенство равносильно совокупности $\begin{cases} f(x) > g(x); \\ f(x) < -g(x). \end{cases}$

Поскольку эквивалентность доказана для обоих случаев ($g(x) < 0$ и $g(x) \ge 0$), множества решений неравенства $|f(x)| > g(x)$ и совокупности всегда совпадают. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.