Номер 29.36, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.36, страница 185.

29.36. Докажите, что множество решений неравенства $|f(x)| \le |h(x)|$ совпадает с множеством решений каждого из неравенств:

a) $f^2(x) \le h^2(x);$

б) $(f(x) - h(x))(f(x) + h(x)) \le 0.$

Для доказательства того, что множество решений неравенства $|f(x)| \le |h(x)|$ совпадает с множествами решений каждого из предложенных неравенств, мы покажем равносильность этих неравенств.

a) Докажем, что неравенство $|f(x)| \le |h(x)|$ равносильно неравенству $f^2(x) \le h^2(x)$.

Рассмотрим исходное неравенство:

$|f(x)| \le |h(x)|$

Поскольку обе части этого неравенства по определению модуля являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, не изменяя знака неравенства. Такое преобразование является равносильным для неотрицательных выражений.

$(|f(x)|)^2 \le (|h(x)|)^2$

Для любого действительного числа $a$ справедливо тождество $|a|^2 = a^2$. Применяя это свойство к обеим частям неравенства, получаем:

$f^2(x) \le h^2(x)$

Так как все выполненные преобразования равносильны, то множества решений неравенств $|f(x)| \le |h(x)|$ и $f^2(x) \le h^2(x)$ совпадают.

Ответ: Доказано, что множества решений неравенств $|f(x)| \le |h(x)|$ и $f^2(x) \le h^2(x)$ совпадают.

б) Докажем, что неравенство $|f(x)| \le |h(x)|$ равносильно неравенству $(f(x) - h(x))(f(x) + h(x)) \le 0$.

В пункте a) мы уже доказали, что неравенство $|f(x)| \le |h(x)|$ равносильно неравенству $f^2(x) \le h^2(x)$.

Теперь преобразуем неравенство $f^2(x) \le h^2(x)$ с помощью тождественных преобразований. Перенесем все члены в левую часть:

$f^2(x) - h^2(x) \le 0$

Выражение в левой части представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(f(x) - h(x))(f(x) + h(x)) \le 0$

Это преобразование является тождественным, а значит, равносильным. Таким образом, мы построили цепочку равносильных переходов:

$|f(x)| \le |h(x)| \iff f^2(x) \le h^2(x) \iff (f(x) - h(x))(f(x) + h(x)) \le 0$

Из этой цепочки следует, что исходное неравенство $|f(x)| \le |h(x)|$ равносильно неравенству $(f(x) - h(x))(f(x) + h(x)) \le 0$, а значит, множества их решений совпадают.

Ответ: Доказано, что множества решений неравенств $|f(x)| \le |h(x)|$ и $(f(x) - h(x))(f(x) + h(x)) \le 0$ совпадают.