Номер 29.38, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.38, страница 186.

29.38. a) $|x^2 - 7x + 3| < |2x^2 + 5x - 10|;$

б) $|x^2 + 11x - 6| \le 10|x|;$

в) $|x^2 + 3x - 5| \ge |x^2 - 7x + 5|;$

г) $|5x^2 - x| \ge |x - 5| \cdot |x + 2|.$

а) Исходное неравенство: $|x^2 - 7x + 3| < |2x^2 + 5x - 10|$.

Данное неравенство вида $|f(x)| < |g(x)|$ равносильно неравенству $f(x)^2 < g(x)^2$. Возведем обе части в квадрат:

$(x^2 - 7x + 3)^2 < (2x^2 + 5x - 10)^2$

Перенесем все в левую часть:

$(x^2 - 7x + 3)^2 - (2x^2 + 5x - 10)^2 < 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((x^2 - 7x + 3) - (2x^2 + 5x - 10))((x^2 - 7x + 3) + (2x^2 + 5x - 10)) < 0$

Упростим выражения в скобках:

$(-x^2 - 12x + 13)(3x^2 - 2x - 7) < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$(x^2 + 12x - 13)(3x^2 - 2x - 7) > 0$

Найдем корни каждого множителя, приравняв их к нулю.

1) $x^2 + 12x - 13 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 1, x_2 = -13$.

2) $3x^2 - 2x - 7 = 0$. Найдем корни через дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 4 + 84 = 88$.
$x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{22}}{3}$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-13$, $\frac{1 - \sqrt{22}}{3}$, $1$, $\frac{1 + \sqrt{22}}{3}$.

Решим неравенство методом интервалов. Так как старший коэффициент произведения положителен, в крайнем правом интервале будет знак «+». Далее знаки чередуются.

Знаки на интервалах: $(-\infty, -13) \rightarrow +$; $(-13, \frac{1 - \sqrt{22}}{3}) \rightarrow -$; $(\frac{1 - \sqrt{22}}{3}, 1) \rightarrow +$; $(1, \frac{1 + \sqrt{22}}{3}) \rightarrow -$; $(\frac{1 + \sqrt{22}}{3}, +\infty) \rightarrow +$.

Нам нужны интервалы со знаком «+», так как неравенство имеет вид $> 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -13) \cup (\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 1) \cup (\frac{1 + \sqrt{22}}{3}; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $|x^2 + 11x - 6| \le 10|x|$.

Используя свойство $|a| = \sqrt{a^2}$ и то, что $|10x| = |10||x|$, преобразуем неравенство к виду $|x^2 + 11x - 6| \le |10x|$.

Это неравенство равносильно $(x^2 + 11x - 6)^2 \le (10x)^2$.

$(x^2 + 11x - 6)^2 - (10x)^2 \le 0$

Применим формулу разности квадратов:

$((x^2 + 11x - 6) - 10x)((x^2 + 11x - 6) + 10x) \le 0$

$(x^2 + x - 6)(x^2 + 21x - 6) \le 0$

Найдем корни каждого множителя.

1) $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 2, x_2 = -3$.

2) $x^2 + 21x - 6 = 0$. Найдем корни через дискриминант:
$D = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 441 + 24 = 465$.
$x_{3,4} = \frac{-21 \pm \sqrt{465}}{2}$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $\frac{-21 - \sqrt{465}}{2}$, $-3$, $\frac{-21 + \sqrt{465}}{2}$, $2$.

Решим неравенство методом интервалов. Крайний правый интервал имеет знак «+». Далее знаки чередуются.

Нам нужны интервалы со знаком «-», так как неравенство имеет вид $\le 0$. Включаем концы интервалов.

Ответ: $x \in [\frac{-21 - \sqrt{465}}{2}; -3] \cup [\frac{-21 + \sqrt{465}}{2}; 2]$.

в) Исходное неравенство: $|x^2 + 3x - 5| \ge |x^2 - 7x + 5|$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge |g(x)|$ равносильно $f(x)^2 \ge g(x)^2$.

$(x^2 + 3x - 5)^2 \ge (x^2 - 7x + 5)^2$

$(x^2 + 3x - 5)^2 - (x^2 - 7x + 5)^2 \ge 0$

По формуле разности квадратов:

$((x^2 + 3x - 5) - (x^2 - 7x + 5))((x^2 + 3x - 5) + (x^2 - 7x + 5)) \ge 0$

$(x^2 + 3x - 5 - x^2 + 7x - 5)(x^2 + 3x - 5 + x^2 - 7x + 5) \ge 0$

$(10x - 10)(2x^2 - 4x) \ge 0$

$10(x - 1) \cdot 2x(x - 2) \ge 0$

$20x(x - 1)(x - 2) \ge 0$

Разделим на 20:

$x(x - 1)(x - 2) \ge 0$

Корни этого выражения: $x=0$, $x=1$, $x=2$.

Применим метод интервалов. Корни разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, +\infty)$.

Знаки на интервалах: $(-\infty, 0] \rightarrow -$; $[0, 1] \rightarrow +$; $[1, 2] \rightarrow -$; $[2, +\infty) \rightarrow +$.

Выбираем интервалы со знаком «+», включая концы.

Ответ: $x \in [0; 1] \cup [2; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $|5x^2 - x| \ge |x - 5| \cdot |x + 2|$.

Используем свойство $|a| \cdot |b| = |ab|$ для правой части:

$|x - 5| \cdot |x + 2| = |(x - 5)(x + 2)| = |x^2 - 3x - 10|$.

Неравенство принимает вид: $|5x^2 - x| \ge |x^2 - 3x - 10|$.

Это неравенство равносильно $(5x^2 - x)^2 \ge (x^2 - 3x - 10)^2$.

$(5x^2 - x)^2 - (x^2 - 3x - 10)^2 \ge 0$

По формуле разности квадратов:

$((5x^2 - x) - (x^2 - 3x - 10))((5x^2 - x) + (x^2 - 3x - 10)) \ge 0$

$(4x^2 + 2x + 10)(6x^2 - 4x - 10) \ge 0$

Вынесем общие множители:

$2(2x^2 + x + 5) \cdot 2(3x^2 - 2x - 5) \ge 0$

$4(2x^2 + x + 5)(3x^2 - 2x - 5) \ge 0$

Рассмотрим первый множитель $2x^2 + x + 5$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 1 - 40 = -39$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, то выражение $2x^2 + x + 5$ всегда положительно.

Значит, мы можем разделить обе части неравенства на $2x^2 + x + 5$ без изменения знака:

$3x^2 - 2x - 5 \ge 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 5 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$x_{1,2} = \frac{2 \pm 8}{6}$.
$x_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$, $x_2 = \frac{-6}{6} = -1$.

Парабола $y = 3x^2 - 2x - 5$ имеет ветви, направленные вверх. Следовательно, выражение неотрицательно при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)$.