Номер 29.43, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.43, страница 187.

29.43. a) Докажите, что неравенство $|f(x)| < f(x)$ не выполняется ни при каких значениях $x$ из области существования $f(x).

б) Докажите, что каждое из неравенств $|f(x)| \leq f(x)$ и $|-f(x)| \leq f(x)$ равносильно неравенству $f(x) \geq 0$.

а) Для доказательства рассмотрим два возможных случая для значения функции $f(x)$, исходя из определения модуля.

Случай 1: $f(x) \ge 0$.
По определению модуля, в этом случае $|f(x)| = f(x)$.
Тогда исходное неравенство $|f(x)| < f(x)$ принимает вид $f(x) < f(x)$.
Это неравенство является ложным для любого числа, так как число не может быть строго меньше самого себя. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $f(x) < 0$.
По определению модуля, в этом случае $|f(x)| = -f(x)$.
Тогда исходное неравенство $|f(x)| < f(x)$ принимает вид $-f(x) < f(x)$.
Прибавим $f(x)$ к обеим частям неравенства: $0 < 2f(x)$.
Разделим обе части на 2: $0 < f(x)$, или $f(x) > 0$.
Полученное условие $f(x) > 0$ противоречит исходному условию данного случая $f(x) < 0$. Следовательно, и в этом случае решений нет.

Поскольку ни один из возможных случаев (которые охватывают всю область существования $f(x)$) не дает решений, мы доказали, что неравенство $|f(x)| < f(x)$ не выполняется ни при каких значениях $x$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Равносильность означает, что из одного неравенства следует другое, и наоборот. Докажем это для каждого случая.

1. Докажем, что $|f(x)| \le f(x)$ равносильно $f(x) \ge 0$.

Доказательство ($\implies$): Допустим, что неравенство $|f(x)| \le f(x)$ верно. По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательным, то есть $|f(x)| \ge 0$. Сопоставляя два этих факта, получаем цепочку неравенств: $f(x) \ge |f(x)| \ge 0$. Отсюда напрямую следует, что $f(x) \ge 0$.

Доказательство ($\impliedby$): Допустим, что неравенство $f(x) \ge 0$ верно. По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то его модуль равен самому выражению. Таким образом, $|f(x)| = f(x)$. Подставим это равенство в неравенство $|f(x)| \le f(x)$, получим $f(x) \le f(x)$. Это неравенство является верным для любого значения $f(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $|f(x)| \le f(x) \iff f(x) \ge 0$.

2. Докажем, что $|-f(x)| \le f(x)$ равносильно $f(x) \ge 0$.

Воспользуемся свойством модуля $|-a| = |a|$, которое верно для любого действительного числа $a$. Применив его, получаем, что $|-f(x)| = |f(x)|$.
Следовательно, неравенство $|-f(x)| \le f(x)$ полностью эквивалентно неравенству $|f(x)| \le f(x)$.
Как было доказано в предыдущем пункте, неравенство $|f(x)| \le f(x)$ равносильно неравенству $f(x) \ge 0$.
Значит, и неравенство $|-f(x)| \le f(x)$ равносильно $f(x) \ge 0$.

Ответ: Что и требовалось доказать.