Номер 29.39, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.39, страница 186.

29.39. a) $ \left| \frac{1 - x}{1 + 3x} \right| > |1 + x|; $

б) $ \left| \frac{x - x^2}{1 + x - 3x^2} \right| > |1 - x|; $

В) $ \left| 1 - \frac{1}{x} \right| \le \left| 2 + \frac{5}{x} \right|; $

Г) $ \left| x - \frac{1}{x} \right| \le \left| 2x^2 - \frac{2}{x} \right|. $

a) Исходное неравенство: $|\frac{1-x}{1+3x}| > |1+x|$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $1+3x \neq 0$, откуда $x \neq -\frac{1}{3}$.

Используя свойство модуля $|\frac{A}{B}| = \frac{|A|}{|B|}$, перепишем неравенство в виде:

$\frac{|1-x|}{|1+3x|} > |1+x|$.

Поскольку по ОДЗ $x \neq -\frac{1}{3}$, знаменатель $|1+3x|$ строго больше нуля. Умножим обе части неравенства на него:

$|1-x| > |1+x| \cdot |1+3x|$.

Воспользуемся свойством $|A| \cdot |B| = |AB|$:

$|1-x| > |(1+x)(1+3x)|$

$|1-x| > |1+3x+x+3x^2|$

$|1-x| > |3x^2+4x+1|$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(1-x)^2 > (3x^2+4x+1)^2$.

Перенесем все члены в одну сторону и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(1-x)^2 - (3x^2+4x+1)^2 > 0$

$((1-x) - (3x^2+4x+1)) \cdot ((1-x) + (3x^2+4x+1)) > 0$

$(-3x^2-3x-2)(3x^2+5x) > 0$.

Рассмотрим первый множитель: $-3x^2-3x-2$. Это квадратичная функция. Найдем ее дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(-3)(-2) = 9 - 24 = -15$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=-3 < 0$, парабола направлена ветвями вниз и не пересекает ось Ох, то есть выражение $-3x^2-3x-2$ всегда отрицательно.

Чтобы произведение было положительным, второй множитель также должен быть отрицательным:

$3x^2+5x < 0$

$x(3x+5) < 0$.

Решая это неравенство методом интервалов, находим корни $x=0$ и $x=-5/3$. Парабола $y=x(3x+5)$ направлена ветвями вверх, поэтому она отрицательна между корнями.

Решение: $x \in (-\frac{5}{3}, 0)$.

Учтем ОДЗ: $x \neq -\frac{1}{3}$. Эта точка находится внутри найденного интервала, поэтому ее нужно исключить.

Окончательное решение: $x \in (-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}, 0)$.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}, 0)$.

б) Исходное неравенство: $|\frac{x-x^2}{1+x-3x^2}| > |1-x|$.

Преобразуем выражение в левой части: $|\frac{x(1-x)}{1+x-3x^2}| > |1-x|$.

ОДЗ: $1+x-3x^2 \neq 0$. Решим уравнение $3x^2-x-1=0$. $D=(-1)^2-4(3)(-1)=13$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$. Таким образом, $x \neq \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$.

Рассмотрим случай $1-x=0$, то есть $x=1$. Неравенство принимает вид $0 > 0$, что неверно. Значит, $x=1$ не является решением.

При $x \neq 1$, $|1-x|>0$. Разделим обе части неравенства на $|1-x|$:

$\frac{|x|}{|1+x-3x^2|} > 1$.

Умножим на знаменатель $|1+x-3x^2|$ (он положителен по ОДЗ):

$|x| > |1+x-3x^2|$.

Возведем в квадрат обе неотрицательные части:

$x^2 > (1+x-3x^2)^2$

$x^2 - (1+x-3x^2)^2 > 0$.

По формуле разности квадратов:

$(x - (1+x-3x^2))(x + (1+x-3x^2)) > 0$

$(3x^2-1)(-3x^2+2x+1) > 0$.

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$(3x^2-1)(3x^2-2x-1) < 0$.

Найдем корни множителей. Корни $3x^2-1=0$ это $x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$. Корни $3x^2-2x-1=0$ это $x=1$ и $x=-\frac{1}{3}$.

Нанесем корни на числовую ось в порядке возрастания: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $-\frac{1}{3}$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $1$.

Методом интервалов определяем знаки произведения. Выражение $(3x^2-1)(3x^2-2x-1)$ отрицательно на интервалах $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{1}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$.

Теперь учтем ОДЗ: $x \neq \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$.

$\frac{1-\sqrt{13}}{6} \approx -0.435$, что лежит в интервале $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{1}{3}) \approx (-0.577, -0.333)$.

$\frac{1+\sqrt{13}}{6} \approx 0.768$, что лежит в интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1) \approx (0.577, 1)$.

Исключаем эти точки из решения.

Ответ: $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1-\sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{1-\sqrt{13}}{6}; -\frac{1}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1+\sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{1+\sqrt{13}}{6}; 1)$.

в) Исходное неравенство: $|1-\frac{1}{x}| \leq |2+\frac{5}{x}|$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Приведем выражения под модулями к общему знаменателю:

$|\frac{x-1}{x}| \leq |\frac{2x+5}{x}|$.

Используя свойство модуля, получаем: $\frac{|x-1|}{|x|} \leq \frac{|2x+5|}{|x|}$.

Так как $x \neq 0$, $|x|>0$. Умножим обе части на $|x|$:

$|x-1| \leq |2x+5|$.

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:

$(x-1)^2 \leq (2x+5)^2$

$x^2-2x+1 \leq 4x^2+20x+25$.

Перенесем все в одну сторону:

$0 \leq 3x^2+22x+24$.

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2+22x+24=0$.

$D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24 = 484 - 288 = 196 = 14^2$.

$x_{1,2} = \frac{-22 \pm 14}{6}$.

$x_1 = \frac{-36}{6} = -6$, $x_2 = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.

Парабола $y=3x^2+22x+24$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \leq -6$ и $x \geq -\frac{4}{3}$.

Решение: $x \in (-\infty, -6] \cup [-\frac{4}{3}, \infty)$.

Учитывая ОДЗ $x \neq 0$, исключаем эту точку из второго интервала.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [-\frac{4}{3}, 0) \cup (0, \infty)$.

г) Исходное неравенство: $|x-\frac{1}{x}| \leq |2x^2-\frac{2}{x}|$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Приведем выражения под модулями к общему знаменателю:

$|\frac{x^2-1}{x}| \leq |\frac{2x^3-2}{x}|$.

Разложим на множители: $|\frac{(x-1)(x+1)}{x}| \leq |\frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x}|$.

Используя свойства модуля: $\frac{|x-1||x+1|}{|x|} \leq \frac{|2||x-1||x^2+x+1|}{|x|}$.

Рассмотрим случай $x=1$. Неравенство становится $0 \leq 0$, что верно. Значит, $x=1$ является решением.

Рассмотрим случай $x \neq 1$ и $x \neq 0$. Мы можем умножить обе части на $|x|$ и разделить на $|x-1|$ (так как эти выражения положительны):

$|x+1| \leq 2|x^2+x+1|$.

Рассмотрим выражение $x^2+x+1$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $x^2+x+1$ всегда положительно. Следовательно, $|x^2+x+1| = x^2+x+1$.

Неравенство принимает вид: $|x+1| \leq 2(x^2+x+1)$, или $|x+1| \leq 2x^2+2x+2$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) Если $x+1 \geq 0$, т.е. $x \geq -1$.

$x+1 \leq 2x^2+2x+2 \implies 0 \leq 2x^2+x+1$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = -7 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $2x^2+x+1$ всегда больше нуля. Неравенство верно для всех $x$ из рассматриваемого промежутка $x \geq -1$.

2) Если $x+1 < 0$, т.е. $x < -1$.

$-(x+1) \leq 2x^2+2x+2 \implies -x-1 \leq 2x^2+2x+2 \implies 0 \leq 2x^2+3x+3$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $2x^2+3x+3$ всегда больше нуля. Неравенство верно для всех $x$ из рассматриваемого промежутка $x < -1$.

Объединяя оба случая, получаем, что неравенство выполняется для всех $x$, кроме, возможно, $x=1$ (который мы рассматривали отдельно). Вместе с решением $x=1$, получаем, что исходное неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.

Таким образом, решение - это все действительные числа, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.