Номер 29.34, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.34, страница 185.

29.34. Докажите, что множество решений неравенства $\vert f(x) \vert < g(x)$ совпадает с множеством решений системы

$\begin{cases} f(x) < g(x), \\ f(x) > -g(x). \end{cases}$

Для доказательства того, что множество решений неравенства $|f(x)| < g(x)$ совпадает с множеством решений системы $\begin{cases} f(x) < g(x), \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$, необходимо доказать равносильность этих двух выражений. Доказательство равносильности проводится в два этапа: доказывается следование из неравенства в систему (прямое доказательство) и из системы в неравенство (обратное доказательство).

1. Доказательство того, что из $|f(x)| < g(x)$ следует система $\begin{cases} f(x) < g(x), \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$.

Пусть для некоторого $x$ выполняется неравенство $|f(x)| < g(x)$.
По определению модуля, $|f(x)| \ge 0$. Следовательно, из неравенства $|f(x)| < g(x)$ вытекает, что $g(x)$ должно быть строго положительным, то есть $g(x) > 0$.
Рассмотрим два возможных случая, основанных на определении модуля функции:

• Случай, когда $f(x) \ge 0$.
  В этом случае $|f(x)| = f(x)$. Исходное неравенство принимает вид $f(x) < g(x)$. Это первое неравенство в системе.
  Так как $g(x) > 0$, то $-g(x) < 0$. Поскольку $f(x) \ge 0$, неравенство $f(x) > -g(x)$ (неотрицательное число больше отрицательного) также является верным. Это второе неравенство в системе.
  Таким образом, в этом случае оба неравенства системы выполняются.

• Случай, когда $f(x) < 0$.
  В этом случае $|f(x)| = -f(x)$. Исходное неравенство принимает вид $-f(x) < g(x)$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим $f(x) > -g(x)$. Это второе неравенство в системе.
  Так как по условию этого случая $f(x) < 0$, а мы установили, что $g(x) > 0$, то неравенство $f(x) < g(x)$ (отрицательное число меньше положительного) также является верным. Это первое неравенство в системе.
  Таким образом, и в этом случае оба неравенства системы выполняются.

Следовательно, из неравенства $|f(x)| < g(x)$ всегда следует система $\begin{cases} f(x) < g(x), \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$.

2. Доказательство того, что из системы $\begin{cases} f(x) < g(x), \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$ следует неравенство $|f(x)| < g(x)$.

Пусть для некоторого $x$ выполняется система неравенств. Второе неравенство системы, $f(x) > -g(x)$, можно переписать как $-f(x) < g(x)$. Таким образом, система утверждает, что одновременно верны два неравенства: $f(x) < g(x)$ и $-f(x) < g(x)$.
Снова рассмотрим два возможных случая:

• Случай, когда $f(x) \ge 0$.
  В этом случае $|f(x)| = f(x)$. Из первого неравенства системы, $f(x) < g(x)$, напрямую следует, что $|f(x)| < g(x)$.

• Случай, когда $f(x) < 0$.
  В этом случае $|f(x)| = -f(x)$. Из второго неравенства системы, которое мы переписали как $-f(x) < g(x)$, напрямую следует, что $|f(x)| < g(x)$.

Следовательно, из системы $\begin{cases} f(x) < g(x), \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$ всегда следует неравенство $|f(x)| < g(x)$.

Поскольку мы доказали, что из неравенства следует система и из системы следует неравенство, эти два выражения равносильны. Это означает, что множества их решений полностью совпадают. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.