Номер 29.31, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.31, страница 184.

29.31. a) $|x - \frac{2}{x + 2}| > 3;$

б) $|x - 3| \cdot |\frac{3x}{x + 2}| > 2;$

в) $|\frac{x^2}{x + 2} - \frac{x^2 + 2}{x - 1}| > 5;$

г) $|\frac{x}{x + 2} + \frac{x}{x - 1}| \cdot |x^2 + x - 2| > 1.$

а)

Исходное неравенство:$|x - \frac{2}{x+2}| > 3$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Преобразуем выражение под знаком модуля:$x - \frac{2}{x+2} = \frac{x(x+2) - 2}{x+2} = \frac{x^2 + 2x - 2}{x+2}$

Неравенство принимает вид:$|\frac{x^2 + 2x - 2}{x+2}| > 3$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:$\frac{x^2 + 2x - 2}{x+2} > 3$ или $\frac{x^2 + 2x - 2}{x+2} < -3$

Решим первое неравенство:$\frac{x^2 + 2x - 2}{x+2} - 3 > 0$$\frac{x^2 + 2x - 2 - 3(x+2)}{x+2} > 0$$\frac{x^2 - x - 8}{x+2} > 0$

Найдем корни числителя $x^2 - x - 8 = 0$. $D = (-1)^2 - 4(1)(-8) = 33$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$.Корень знаменателя: $x_3 = -2$.Наносим корни на числовую ось и определяем знаки методом интервалов.Точки: $\frac{1 - \sqrt{33}}{2} \approx -2.37$, $-2$, $\frac{1 + \sqrt{33}}{2} \approx 3.37$.Решение первого неравенства: $x \in (\frac{1 - \sqrt{33}}{2}; -2) \cup (\frac{1 + \sqrt{33}}{2}; +\infty)$.

Решим второе неравенство:$\frac{x^2 + 2x - 2}{x+2} + 3 < 0$$\frac{x^2 + 2x - 2 + 3(x+2)}{x+2} < 0$$\frac{x^2 + 5x + 4}{x+2} < 0$$\frac{(x+1)(x+4)}{x+2} < 0$

Корни числителя: $x = -1, x = -4$. Корень знаменателя: $x = -2$.Наносим корни на числовую ось и определяем знаки методом интервалов.Точки: $-4, -2, -1$.Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; -1)$.

Объединяем решения обоих неравенств:$x \in (-\infty; -4) \cup (\frac{1 - \sqrt{33}}{2}; -2) \cup (-2; -1) \cup (\frac{1 + \sqrt{33}}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (\frac{1 - \sqrt{33}}{2}; -2) \cup (-2; -1) \cup (\frac{1 + \sqrt{33}}{2}; +\infty)$.

б)

Исходное неравенство:$|x - 3| \cdot |\frac{3x}{x+2}| > 2$

ОДЗ: $x \neq -2$.

Используя свойство $|a| \cdot |b| = |ab|$, объединим модули:$|\frac{3x(x - 3)}{x+2}| > 2 \implies |\frac{3x^2 - 9x}{x+2}| > 2$

Это неравенство равносильно совокупности:$\frac{3x^2 - 9x}{x+2} > 2$ или $\frac{3x^2 - 9x}{x+2} < -2$

Решим первое неравенство:$\frac{3x^2 - 9x}{x+2} - 2 > 0$$\frac{3x^2 - 9x - 2(x+2)}{x+2} > 0$$\frac{3x^2 - 11x - 4}{x+2} > 0$Корни числителя $3x^2 - 11x - 4 = 0$: $x_1 = \frac{11 - \sqrt{121+48}}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{11 + 13}{6} = 4$.Корень знаменателя: $x_3 = -2$.Методом интервалов получаем решение: $x \in (-2; -1/3) \cup (4; +\infty)$.

Решим второе неравенство:$\frac{3x^2 - 9x}{x+2} + 2 < 0$$\frac{3x^2 - 9x + 2(x+2)}{x+2} < 0$$\frac{3x^2 - 7x + 4}{x+2} < 0$Корни числителя $3x^2 - 7x + 4 = 0$: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{49-48}}{6} = 1$, $x_2 = \frac{7+1}{6} = \frac{4}{3}$.Корень знаменателя: $x_3 = -2$.Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; 4/3)$.

Объединяем полученные решения:$x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1/3) \cup (1; 4/3) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1/3) \cup (1; 4/3) \cup (4; +\infty)$.

в)

Исходное неравенство:$|\frac{x^2}{x+2} - \frac{x^2+2}{x-1}| > 5$

ОДЗ: $x \neq -2, x \neq 1$.

Преобразуем выражение под модулем:$\frac{x^2(x-1) - (x^2+2)(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{x^3 - x^2 - (x^3+2x^2+2x+4)}{(x+2)(x-1)} = \frac{-3x^2-2x-4}{x^2+x-2}$

Неравенство принимает вид: $|\frac{-3x^2-2x-4}{x^2+x-2}| > 5$.Так как $|-A|=|A|$, то $|\frac{3x^2+2x+4}{x^2+x-2}| > 5$.

Рассмотрим числитель $3x^2+2x+4$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4 - 48 = -44 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $3x^2+2x+4$ всегда больше нуля.Следовательно, $|3x^2+2x+4| = 3x^2+2x+4$. Неравенство можно переписать как:$\frac{3x^2+2x+4}{|x^2+x-2|} > 5$.

Так как и числитель, и 5 положительны, это равносильно $3x^2+2x+4 > 5|x^2+x-2|$, что в свою очередь равносильно исходной совокупности:$\frac{3x^2+2x+4}{x^2+x-2} > 5$ или $\frac{3x^2+2x+4}{x^2+x-2} < -5$

Решим первое неравенство:$\frac{3x^2+2x+4 - 5(x^2+x-2)}{x^2+x-2} > 0 \implies \frac{-2x^2-3x+14}{x^2+x-2} > 0 \implies \frac{2x^2+3x-14}{x^2+x-2} < 0$.Корни числителя $2x^2+3x-14=0$: $x_1 = -3.5, x_2 = 2$.Корни знаменателя $x^2+x-2=0$: $x_3 = -2, x_4 = 1$.Методом интервалов: $x \in (-3.5; -2) \cup (1; 2)$.

Решим второе неравенство:$\frac{3x^2+2x+4 + 5(x^2+x-2)}{x^2+x-2} < 0 \implies \frac{8x^2+7x-6}{x^2+x-2} < 0$.Корни числителя $8x^2+7x-6=0$: $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49+192}}{16} = \frac{-7 \pm \sqrt{241}}{16}$.Корни знаменателя: $x_3 = -2, x_4 = 1$.Методом интервалов, учитывая, что $-2 < \frac{-7-\sqrt{241}}{16} < \frac{-7+\sqrt{241}}{16} < 1$, получаем:$x \in (-2; \frac{-7-\sqrt{241}}{16}) \cup (\frac{-7+\sqrt{241}}{16}; 1)$.

Объединяем решения:$x \in (-3.5; -2) \cup (-2; \frac{-7-\sqrt{241}}{16}) \cup (\frac{-7+\sqrt{241}}{16}; 1) \cup (1; 2)$.

Ответ: $x \in (-\frac{7}{2}; -2) \cup (-2; \frac{-7-\sqrt{241}}{16}) \cup (\frac{-7+\sqrt{241}}{16}; 1) \cup (1; 2)$.

г)

Исходное неравенство:$|\frac{x}{x+2} + \frac{x}{x-1}| \cdot |x^2 + x - 2| > 1$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq -2, x \neq 1$.Заметим, что $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$.

Преобразуем выражение в первом модуле:$\frac{x}{x+2} + \frac{x}{x-1} = \frac{x(x-1) + x(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{x^2 - x + x^2 + 2x}{x^2+x-2} = \frac{2x^2+x}{x^2+x-2}$

Неравенство принимает вид:$|\frac{2x^2+x}{x^2+x-2}| \cdot |x^2+x-2| > 1$

Поскольку $x \neq -2$ и $x \neq 1$, то $x^2+x-2 \neq 0$. Используя свойство $|a/b| \cdot |b| = |a|$ для $b \neq 0$:$|2x^2+x| > 1$

Это неравенство равносильно совокупности:$2x^2+x > 1$ или $2x^2+x < -1$

Решим первое неравенство: $2x^2+x-1 > 0$.Корни уравнения $2x^2+x-1=0$: $x_1 = \frac{-1-3}{4} = -1$, $x_2 = \frac{-1+3}{4} = 1/2$.Решение: $x \in (-\infty; -1) \cup (1/2; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x^2+x+1 < 0$.Дискриминант $D=1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = -7 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $2x^2+x+1$ всегда больше нуля. Следовательно, это неравенство не имеет решений.

Решением является $x \in (-\infty; -1) \cup (1/2; +\infty)$. Учтем ОДЗ ($x \neq -2, x \neq 1$):Точка $x=-2$ входит в интервал $(-\infty; -1)$, ее нужно исключить.Точка $x=1$ входит в интервал $(1/2; +\infty)$, ее нужно исключить.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1) \cup (1/2; 1) \cup (1; +\infty)$.