Номер 29.28, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.28, страница 184.

29.28. a) $|3x - 9| \ge 6;$

б) $|4 - 2x| < 16;$

в) $|5x + 10| \le 7;$

г) $|9 + 3x| > 12.$

а) Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
Для неравенства $|3x - 9| \ge 6$ это означает, что оно распадается на два случая:
1) $3x - 9 \ge 6$
$3x \ge 6 + 9$
$3x \ge 15$
$x \ge 5$
2) $3x - 9 \le -6$
$3x \le -6 + 9$
$3x \le 3$
$x \le 1$
Решением является объединение этих двух промежутков.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

б) Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.
Для неравенства $|4 - 2x| < 16$ получаем:
$-16 < 4 - 2x < 16$
Вычтем 4 из всех частей неравенства:
$-16 - 4 < -2x < 16 - 4$
$-20 < -2x < 12$
Разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-20}{-2} > x > \frac{12}{-2}$
$10 > x > -6$
Запишем это в более привычном виде, поменяв части местами: $-6 < x < 10$.
Ответ: $x \in (-6, 10)$.

в) Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.
Для неравенства $|5x + 10| \le 7$ получаем:
$-7 \le 5x + 10 \le 7$
Вычтем 10 из всех частей неравенства:
$-7 - 10 \le 5x \le 7 - 10$
$-17 \le 5x \le -3$
Разделим все части неравенства на 5 (положительное число, знаки не меняются):
$-\frac{17}{5} \le x \le -\frac{3}{5}$
Это также можно записать в виде десятичных дробей: $-3.4 \le x \le -0.6$.
Ответ: $x \in [-\frac{17}{5}, -\frac{3}{5}]$.

г) Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
Для неравенства $|9 + 3x| > 12$ это означает, что оно распадается на два случая:
1) $9 + 3x > 12$
$3x > 12 - 9$
$3x > 3$
$x > 1$
2) $9 + 3x < -12$
$3x < -12 - 9$
$3x < -21$
$x < -7$
Решением является объединение этих двух промежутков.
Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (1, +\infty)$.