Номер 29.21, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.21, страница 183.

29.21. Докажите, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = f(x) + h(x)$ равносильно системе $ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ h(x) \ge 0. \end{cases} $

Для доказательства равносильности уравнения $|f(x)| + |h(x)| = f(x) + h(x)$ и системы $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ h(x) \ge 0 \end{cases}$ необходимо показать, что любое решение уравнения является решением системы, и наоборот.

Доказательство состоит из двух частей.

1. Доказательство того, что из системы следует уравнение.

Предположим, что выполняются условия системы, то есть $f(x) \ge 0$ и $h(x) \ge 0$.

По определению модуля, если значение выражения неотрицательно, его модуль равен самому выражению. Следовательно, из $f(x) \ge 0$ следует, что $|f(x)| = f(x)$, а из $h(x) \ge 0$ следует, что $|h(x)| = h(x)$.

Подставим эти равенства в левую часть исходного уравнения:

$|f(x)| + |h(x)| = f(x) + h(x)$.

В результате мы получаем тождество $f(x) + h(x) = f(x) + h(x)$, которое является верным. Таким образом, если система выполняется, то и уравнение верно.

2. Доказательство того, что из уравнения следует система.

Предположим, что выполняется равенство $|f(x)| + |h(x)| = f(x) + h(x)$.

Известно фундаментальное свойство модуля: для любого действительного числа $a$ всегда справедливо неравенство $|a| \ge a$. Равенство в этом соотношении достигается тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.

Применим это свойство к функциям $f(x)$ и $h(x)$:

$|f(x)| \ge f(x)$

$|h(x)| \ge h(x)$

Сложим эти два неравенства почленно:

$|f(x)| + |h(x)| \ge f(x) + h(x)$

Теперь сравним полученное неравенство с исходным уравнением. По условию, в данном неравенстве достигается знак равенства. Сумма двух слагаемых в левой части равна сумме двух слагаемых в правой. Это возможно тогда и только тогда, когда равенство достигается в каждом из исходных неравенств, которые мы складывали:

$|f(x)| = f(x)$ и $|h(x)| = h(x)$.

Как было упомянуто, равенство $|a| = a$ выполняется только при условии, что $a \ge 0$. Следовательно, из полученных равенств следует:

$f(x) \ge 0$ и $h(x) \ge 0$.

Это и есть требуемая система неравенств.

Поскольку мы доказали, что из выполнения системы следует верность уравнения, и из верности уравнения следует выполнение системы, то уравнение и система равносильны.

Ответ: Утверждение доказано.