Номер 29.16, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.16, страница 182.

Решите уравнение:

29.16. а) $|x^2 - 4x + 3| + |x^2 - 5x + 4| = 0;$

б) $|\frac{4x}{x^2(x + 1)} - \frac{5x + 1}{x + 2}| + |x^2 + x - 2| = 0;$

в) $|x^2 - 2x| + |2x^2 - 5x + 2| = 0;$

г) $|\frac{3x}{2x + 1} - \frac{1 - 4x}{x^3(x + 6)}| + |x^2 - 6x - 7| = 0.$

Все уравнения в данной задаче имеют вид $|A| + |B| = 0$. Так как абсолютная величина (модуль) любого действительного числа неотрицательна ($|A| \geq 0$ и $|B| \geq 0$), сумма двух модулей равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения под модулем одновременно равны нулю. Таким образом, каждое уравнение равносильно системе из двух уравнений: $A = 0$ и $B = 0$.

а) $|x^2 - 4x + 3| + |x^2 - 5x + 4| = 0$

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 = 0 \\ x^2 - 5x + 4 = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Решим второе уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Общим решением для обоих уравнений является корень, который удовлетворяет и первому, и второму уравнению. Таким корнем является $x = 1$.

Ответ: $1$

б) $\left|\frac{4x}{x^2(x + 1)} - \frac{5x + 1}{x + 2}\right| + |x^2 + x - 2| = 0$

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \frac{4x}{x^2(x + 1)} - \frac{5x + 1}{x + 2} = 0 \\ x^2 + x - 2 = 0 \end{cases} $

Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: $x^2(x+1) \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 0$, $x \neq -1$ и $x \neq -2$.

Решим второе, более простое, уравнение: $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Теперь проверим эти корни. Корень $x = -2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x+2$ обращается в ноль. Следовательно, $x=-2$ не является решением системы.

Проверим корень $x = 1$. Он входит в ОДЗ. Подставим его в первое уравнение системы:

$\frac{4(1)}{1^2(1 + 1)} - \frac{5(1) + 1}{1 + 2} = \frac{4}{1 \cdot 2} - \frac{6}{3} = \frac{4}{2} - 2 = 2 - 2 = 0$.

Равенство выполняется. Значит, $x = 1$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $1$

в) $|x^2 - 2x| + |2x^2 - 5x + 2| = 0$

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 2x = 0 \\ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение $x^2 - 2x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Решим второе уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{5 \pm 3}{2 \cdot 2}$.

$x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Общим решением для обоих уравнений является $x = 2$.

Ответ: $2$

г) $\left|\frac{3x}{2x + 1} - \frac{1 - 4x}{x^3(x + 6)}\right| + |x^2 - 6x - 7| = 0$

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3x}{2x + 1} - \frac{1 - 4x}{x^3(x + 6)} = 0 \\ x^2 - 6x - 7 = 0 \end{cases} $

Найдём ОДЗ: $2x+1 \neq 0$ и $x^3(x+6) \neq 0$. Следовательно, $x \neq -\frac{1}{2}$, $x \neq 0$ и $x \neq -6$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.

Оба корня входят в ОДЗ. Проверим каждый из них, подставив в первое уравнение.

Проверка для $x = 7$:

$\frac{3(7)}{2(7) + 1} - \frac{1 - 4(7)}{7^3(7 + 6)} = \frac{21}{15} - \frac{1 - 28}{343 \cdot 13} = \frac{7}{5} - \frac{-27}{4459} = \frac{7}{5} + \frac{27}{4459}$.

Сумма двух положительных чисел не может быть равна нулю, значит, $x = 7$ не является решением.

Проверка для $x = -1$:

$\frac{3(-1)}{2(-1) + 1} - \frac{1 - 4(-1)}{(-1)^3(-1 + 6)} = \frac{-3}{-2 + 1} - \frac{1 + 4}{-1 \cdot 5} = \frac{-3}{-1} - \frac{5}{-5} = 3 - (-1) = 4$.

Так как $4 \neq 0$, корень $x = -1$ также не является решением.

Поскольку ни один из корней второго уравнения не удовлетворяет первому, у системы нет решений.

Ответ: корней нет