Номер 29.18, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.18, страница 182.

29.18. a) $\left| \sin x \right| + \left| \cos \frac{x}{2} \right| = 0;$
б) $\left| \sin 3x + \cos 3x \right| + \left| \cos 6x \right| = 0;$
в) $\left| \cos 2x \right| + \left| \sin 4x \right| = 0;$
г) $\left| \sqrt{3} \sin 3x - \cos 3x \right| + \left| 1 - \cos \left(6x - \frac{\pi}{3}\right) \right| = 0.$

а) Исходное уравнение: $|\sin x| + |\cos \frac{x}{2}| = 0$.
Сумма модулей двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе уравнений:$$\begin{cases}\sin x = 0 \\\cos \frac{x}{2} = 0\end{cases}$$Решим первое уравнение системы: $\sin x = 0$. Его решения: $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Решим второе уравнение системы: $\cos \frac{x}{2} = 0$. Его решения: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi$, откуда $x = \pi + 2n\pi = (2n+1)\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для нахождения решения исходного уравнения необходимо найти пересечение полученных множеств решений. Множество $x = k\pi$ включает в себя все целые кратные $\pi$, а множество $x = (2n+1)\pi$ — только нечетные целые кратные $\pi$. Пересечением этих множеств является множество нечетных кратных $\pi$.
Ответ: $x = \pi + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $|\sin 3x + \cos 3x| + |\cos 6x| = 0$.
Данное уравнение равносильно системе, в которой каждое подмодульное выражение равно нулю:$$\begin{cases}\sin 3x + \cos 3x = 0 \\\cos 6x = 0\end{cases}$$Решим первое уравнение: $\sin 3x + \cos 3x = 0$. Разделим обе части на $\cos 3x$, который не может быть равен нулю (иначе $\sin 3x = \pm 1$, и равенство $\pm 1 = 0$ не выполняется). Получим $\tan 3x = -1$.
Отсюда $3x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, и $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $x$ второму уравнению системы: $\cos 6x = 0$.
Подставим $x$: $6x = 6(-\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}) = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
Тогда $\cos(6x) = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
Так как все решения первого уравнения удовлетворяют второму, они являются решениями системы.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $|\cos 2x| + |\sin 4x| = 0$.
Уравнение равносильно системе уравнений:$$\begin{cases}\cos 2x = 0 \\\sin 4x = 0\end{cases}$$Решим первое уравнение: $\cos 2x = 0$.
$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение второго уравнения $\sin 4x = 0$ для найденных $x$.
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$.
Поскольку из первого уравнения следует, что $\cos 2x = 0$, то $\sin 4x = 2 \sin 2x \cdot 0 = 0$ для любого значения $\sin 2x$.
Таким образом, все решения первого уравнения являются решениями и второго уравнения. Следовательно, они и есть решения исходной системы.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $|\sqrt{3} \sin 3x - \cos 3x| + |1 - \cos(6x - \frac{\pi}{3})| = 0$.
Уравнение равносильно системе:$$\begin{cases}\sqrt{3} \sin 3x - \cos 3x = 0 \\1 - \cos(6x - \frac{\pi}{3}) = 0\end{cases}$$Решим первое уравнение: $\sqrt{3} \sin 3x - \cos 3x = 0$.
Преобразуем его, используя метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$:
$2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3x - \frac{1}{2} \cos 3x) = 0$
$2(\cos\frac{\pi}{6} \sin 3x - \sin\frac{\pi}{6} \cos 3x) = 0$
$2 \sin(3x - \frac{\pi}{6}) = 0$
$3x - \frac{\pi}{6} = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Решим второе уравнение: $1 - \cos(6x - \frac{\pi}{3}) = 0$, или $\cos(6x - \frac{\pi}{3}) = 1$.
$6x - \frac{\pi}{3} = 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$6x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{n\pi}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Множества решений первого и второго уравнений совпадают. Следовательно, решением системы является найденная серия корней.
Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$.