Номер 29.19, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.19, страница 182.

29.19. Докажите, что уравнение $ |f(x)| + |h(x)| = f(x) $ равносильно системе

$$ \begin{cases} h(x) = 0, \\ f(x) \geq 0. \end{cases} $$

Чтобы доказать, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = f(x)$ равносильно системе $\begin{cases} h(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$, мы должны показать, что любое решение уравнения является решением системы, и наоборот, любое решение системы является решением уравнения. Это доказывается в два этапа.

1. Доказательство того, что из уравнения следует система.

Пусть дано уравнение $|f(x)| + |h(x)| = f(x)$.

По определению модуля, значение модуля любого числа является неотрицательным, то есть $|f(x)| \ge 0$ и $|h(x)| \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных величин также неотрицательна: $|f(x)| + |h(x)| \ge 0$.

Поскольку левая часть уравнения равна $f(x)$, то из этого следует, что $f(x) \ge 0$. Это доказывает второе условие системы.

Теперь, зная, что $f(x) \ge 0$, мы можем раскрыть модуль $|f(x)|$. По определению, если выражение под знаком модуля неотрицательно, то его модуль равен самому выражению. Следовательно, $|f(x)| = f(x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$f(x) + |h(x)| = f(x)$

Теперь вычтем $f(x)$ из обеих частей равенства:

$|h(x)| = 0$

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю. Отсюда следует, что $h(x) = 0$. Это доказывает первое условие системы.

Таким образом, мы показали, что если выполняется уравнение, то обязательно выполняется и система.

2. Доказательство того, что из системы следует уравнение.

Пусть дана система $\begin{cases} h(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$.

Мы должны доказать, что при выполнении этих двух условий будет верным равенство $|f(x)| + |h(x)| = f(x)$.

Рассмотрим левую часть этого равенства: $|f(x)| + |h(x)|$.

Используем условия системы:

Из условия $f(x) \ge 0$ по определению модуля следует, что $|f(x)| = f(x)$.

Из условия $h(x) = 0$ следует, что $|h(x)| = |0| = 0$.

Теперь подставим полученные результаты в левую часть исходного уравнения:

$|f(x)| + |h(x)| = f(x) + 0 = f(x)$

Мы видим, что левая часть уравнения тождественно равна правой части $f(x)$. Следовательно, если выполняется система, то выполняется и уравнение.

Поскольку мы доказали следование в обе стороны, уравнение и система равносильны.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение $|f(x)| + |h(x)| = f(x)$ и система $\begin{cases} h(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ являются равносильными.