Номер 29.13, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.13, страница 182.

Решите уравнение:

29.13. а) $|x^2 - 5x| = 4|x|;$

б) $|2x - x^2 + 3| = |x + 3|;$

в) $|x^2 - 6x + 10| = |x + 10|;$

г) $|-x^2 + 4x - 8| = 2|-x|.$

а)

Исходное уравнение: $|x^2 - 5x| = 4|x|$.
Поскольку $4 > 0$, можно внести множитель 4 под знак модуля: $4|x| = |4x|$.
Уравнение принимает вид $|x^2 - 5x| = |4x|$.
Уравнение вида $|f(x)| = |g(x)|$ равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

1. Решим первое уравнение: $x^2 - 5x = 4x$.
$x^2 - 9x = 0$
$x(x - 9) = 0$
Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.

2. Решим второе уравнение: $x^2 - 5x = -4x$.
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем корни $x_3 = 0$ и $x_4 = 1$.

Объединяя все найденные корни, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $\{0, 1, 9\}$.

б)

Исходное уравнение: $|2x - x^2 + 3| = |x + 3|$.
Данное уравнение имеет вид $|f(x)| = |g(x)|$, что равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

1. Решим первое уравнение: $2x - x^2 + 3 = x + 3$.
$-x^2 + x = 0$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

2. Решим второе уравнение: $2x - x^2 + 3 = -(x + 3)$.
$2x - x^2 + 3 = -x - 3$
$-x^2 + 3x + 6 = 0$
$x^2 - 3x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-6) = 9 + 24 = 33$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $\{0, 1, \frac{3 - \sqrt{33}}{2}, \frac{3 + \sqrt{33}}{2}\}$.

в)

Исходное уравнение: $|x^2 - 6x + 10| = |x + 10|$.
Уравнение вида $|f(x)| = |g(x)|$ равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

1. Решим первое уравнение: $x^2 - 6x + 10 = x + 10$.
$x^2 - 7x = 0$
$x(x - 7) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 7$.

2. Решим второе уравнение: $x^2 - 6x + 10 = -(x + 10)$.
$x^2 - 6x + 10 = -x - 10$
$x^2 - 5x + 20 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(20) = 25 - 80 = -55$.
Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $\{0, 7\}$.

г)

Исходное уравнение: $|-x^2 + 4x - 8| = 2|-x|$.
Используем свойства модуля: $|-a| = |a|$.
$|-x^2 + 4x - 8| = |-(x^2 - 4x + 8)| = |x^2 - 4x + 8|$.
$2|-x| = 2|x| = |2x|$.
Уравнение принимает вид: $|x^2 - 4x + 8| = |2x|$.
Это уравнение вида $|f(x)| = |g(x)|$, которое равносильно совокупности $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

1. Решим первое уравнение: $x^2 - 4x + 8 = 2x$.
$x^2 - 6x + 8 = 0$
По теореме Виета (или через разложение на множители) находим корни: $(x-2)(x-4)=0$.
Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

2. Решим второе уравнение: $x^2 - 4x + 8 = -2x$.
$x^2 - 2x + 8 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(8) = 4 - 32 = -28$.
Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $\{2, 4\}$.