Номер 29.8, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.8, страница 181.

Решите уравнение:

29.8. а) $|2x - 3| = x;$

б) $|3x - 1| = x + 9;$

в) $|2x - 2| = 5x + 1;$

г) $|4x + 3| = -6x - 7.$

а) Для решения уравнения $|2x - 3| = x$ необходимо учесть, что значение модуля не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. При выполнении этого условия уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $2x - 3 = x$ или $2x - 3 = -x$. Решим каждое из них. Первое уравнение: $2x - x = 3$, откуда $x = 3$. Второе уравнение: $2x + x = 3$, откуда $3x = 3$, и $x = 1$. Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни $x=3$ и $x=1$ начальному условию $x \ge 0$. Корень $x=3$ удовлетворяет условию ($3 \ge 0$). Корень $x=1$ также удовлетворяет условию ($1 \ge 0$). Таким образом, оба числа являются решениями исходного уравнения. Ответ: $1; 3$.

б) Решим уравнение $|3x - 1| = x + 9$. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, то есть $x + 9 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -9$. При этом условии исходное уравнение можно заменить совокупностью двух уравнений: $3x - 1 = x + 9$ или $3x - 1 = -(x + 9)$. Решим первое уравнение: $3x - x = 9 + 1$, $2x = 10$, $x = 5$. Решим второе уравнение: $3x - 1 = -x - 9$, $3x + x = -9 + 1$, $4x = -8$, $x = -2$. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge -9$. Корень $x=5$ удовлетворяет условию ($5 \ge -9$). Корень $x=-2$ также удовлетворяет условию ($-2 \ge -9$). Следовательно, оба корня являются решениями. Ответ: $-2; 5$.

в) Решим уравнение $|2x - 2| = 5x + 1$. По определению модуля, правая часть должна быть неотрицательной: $5x + 1 \ge 0$, откуда $5x \ge -1$, то есть $x \ge -\frac{1}{5}$. При этом условии уравнение распадается на два случая: $2x - 2 = 5x + 1$ и $2x - 2 = -(5x + 1)$. Решим первый случай: $2x - 5x = 1 + 2$, $-3x = 3$, $x = -1$. Решим второй случай: $2x - 2 = -5x - 1$, $2x + 5x = -1 + 2$, $7x = 1$, $x = \frac{1}{7}$. Теперь проверим корни на соответствие условию $x \ge -\frac{1}{5}$. Для $x = -1$: $-1 \ge -\frac{1}{5}$ является ложным утверждением, так как $-1 = -\frac{5}{5}$. Этот корень не подходит. Для $x = \frac{1}{7}$: $\frac{1}{7} \ge -\frac{1}{5}$ является истинным утверждением. Этот корень подходит. Таким образом, уравнение имеет единственное решение. Ответ: $\frac{1}{7}$.

г) Решим уравнение $|4x + 3| = -6x - 7$. Условие на правую часть: $-6x - 7 \ge 0$. Решим это неравенство: $-6x \ge 7$, $x \le -\frac{7}{6}$. При выполнении этого условия исходное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $4x + 3 = -6x - 7$ и $4x + 3 = -(-6x - 7)$. Решим первое уравнение: $4x + 6x = -7 - 3$, $10x = -10$, $x = -1$. Решим второе уравнение: $4x + 3 = 6x + 7$, $4x - 6x = 7 - 3$, $-2x = 4$, $x = -2$. Проверим найденные корни. Корень $x = -1$: проверяем условие $x \le -\frac{7}{6}$. $-1 \le -\frac{7}{6}$ (или $-\frac{6}{6} \le -\frac{7}{6}$) является ложным утверждением. Этот корень не является решением. Корень $x = -2$: проверяем условие $x \le -\frac{7}{6}$. $-2 \le -\frac{7}{6}$ (или $-\frac{12}{6} \le -\frac{7}{6}$) является истинным утверждением. Этот корень является решением. Ответ: $-2$.