Страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

29.6. а) Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых существует только один корень уравнения $|x - 1| = p$, удовлетворяющий неравенству $x^2 \ge 4$.

б) Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых существует корень уравнения $|x - 1| = p$, удовлетворяющий неравенству $x^2 \ge 4$.

в) Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых ни один корень уравнения $|x - 1| = p$ не удовлетворяет неравенству $x^2 \ge 4$.

г) Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых уравнение $|x - 1| = p$ имеет корни и все они удовлетворяют неравенству $x^2 \ge 4$.

Вначале проанализируем уравнение $|x - 1| = p$ и неравенство $x^2 \ge 4$.

Анализ уравнения $|x - 1| = p$:

1. Если $p < 0$, уравнение не имеет действительных корней, так как модуль числа не может быть отрицательным.
2. Если $p = 0$, уравнение принимает вид $|x - 1| = 0$, откуда $x - 1 = 0$, и мы получаем единственный корень $x = 1$.
3. Если $p > 0$, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
   • $x - 1 = p \implies x_1 = 1 + p$
   • $x - 1 = -p \implies x_2 = 1 - p$
   В этом случае уравнение имеет два различных корня.

Анализ неравенства $x^2 \ge 4$:

Неравенство $x^2 \ge 4$ равносильно $|x| \ge 2$. Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Теперь проверим, при каких значениях $p$ найденные корни удовлетворяют этому неравенству.

• При $p = 0$, корень $x = 1$. Проверяем: $1^2 = 1$, что меньше 4. Следовательно, корень $x=1$ не удовлетворяет неравенству.
• При $p > 0$, имеем два корня $x_1 = 1 + p$ и $x_2 = 1 - p$.

  Для корня $x_1 = 1 + p$:

  Так как $p > 0$, то $1+p > 1$. Значит, условие $x_1 \le -2$ выполняться не может. Проверим условие $x_1 \ge 2$:

  $1 + p \ge 2 \implies p \ge 1$.

  Следовательно, корень $x_1 = 1 + p$ удовлетворяет неравенству при $p \ge 1$.

  Для корня $x_2 = 1 - p$:

  Проверим условие $x_2 \ge 2$: $1 - p \ge 2 \implies -p \ge 1 \implies p \le -1$. Это противоречит условию $p > 0$.

  Проверим условие $x_2 \le -2$: $1 - p \le -2 \implies -p \le -3 \implies p \ge 3$.

  Следовательно, корень $x_2 = 1 - p$ удовлетворяет неравенству при $p \ge 3$.

Сводка для $p>0$:

• Корень $x_1 = 1+p$ удовлетворяет неравенству $x^2 \ge 4$ при $p \ge 1$.
• Корень $x_2 = 1-p$ удовлетворяет неравенству $x^2 \ge 4$ при $p \ge 3$.

Теперь решим каждую из поставленных задач.

а) Найдите все значения параметра p, при каждом из которых существует только один корень уравнения $|x-1|=p$, удовлетворяющий неравенству $x^2 \ge 4$.

Рассмотрим возможные значения $p$.

• При $p < 0$ корней нет.
• При $p = 0$ есть один корень $x=1$, который не удовлетворяет неравенству.
• При $p > 0$ есть два корня $x_1 = 1 + p$ и $x_2 = 1 - p$. Нам нужно, чтобы ровно один из них удовлетворял неравенству $x^2 \ge 4$. Это возможно в двух случаях:
  1. Корень $x_1 = 1+p$ удовлетворяет неравенству, а $x_2 = 1-p$ — нет. Это соответствует системе условий: $\begin{cases} p \ge 1 \\ p < 3 \end{cases}$ Решением этой системы является промежуток $p \in [1, 3)$.
  2. Корень $x_2 = 1-p$ удовлетворяет неравенству, а $x_1 = 1+p$ — нет. Это соответствует системе условий: $\begin{cases} p \ge 3 \\ p < 1 \end{cases}$ Эта система не имеет решений.

Объединяя результаты, получаем, что условию задачи удовлетворяют значения $p$ из промежутка $[1, 3)$.

Ответ: $p \in [1, 3)$.

б) Найдите все значения параметра p, при каждом из которых существует корень уравнения $|x-1|=p$, удовлетворяющий неравенству $x^2 \ge 4$.

Это означает, что хотя бы один корень уравнения должен удовлетворять неравенству.

• При $p < 0$ корней нет.
• При $p = 0$ корень $x=1$ не удовлетворяет неравенству.
• При $p > 0$ есть два корня $x_1 = 1 + p$ и $x_2 = 1 - p$. Хотя бы один из них должен удовлетворять неравенству. Это произойдет, если выполняется хотя бы одно из условий: $p \ge 1$ (для корня $x_1$) или $p \ge 3$ (для корня $x_2$).

  Объединение множеств решений $p \ge 1$ и $p \ge 3$ дает $p \ge 1$.

Таким образом, условие выполняется при $p \ge 1$.

Ответ: $p \in [1, \infty)$.

в) Найдите все значения параметра p, при каждом из которых ни один корень уравнения $|x-1|=p$ не удовлетворяет неравенству $x^2 \ge 4$.

Это условие является противоположным условию из пункта б), за исключением случая, когда корней нет.

• При $p < 0$ уравнение не имеет корней, следовательно, ни один корень не удовлетворяет неравенству. Эти значения $p$ подходят.
• При $p = 0$ единственный корень $x=1$ не удовлетворяет неравенству. Это значение $p$ подходит.
• При $p > 0$ оба корня $x_1=1+p$ и $x_2=1-p$ не должны удовлетворять неравенству.

  Для $x_1 = 1+p$ это означает $p < 1$.

  Для $x_2 = 1-p$ это означает $p < 3$.

  Оба условия должны выполняться одновременно, т.е. $\begin{cases} p < 1 \\ p < 3 \end{cases}$, что дает $p < 1$. Учитывая, что мы рассматриваем случай $p>0$, получаем $0 < p < 1$.

Объединяя все подходящие значения $p$: $(-\infty, 0) \cup \{0\} \cup (0, 1)$, получаем $p < 1$.

Ответ: $p \in (-\infty, 1)$.

г) Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение $|x-1|=p$ имеет корни и все они удовлетворяют неравенству $x^2 \ge 4$.

Уравнение имеет корни при $p \ge 0$.

• При $p = 0$ есть один корень $x=1$, который не удовлетворяет неравенству. Значит, $p=0$ не подходит.
• При $p > 0$ уравнение имеет два корня $x_1 = 1+p$ и $x_2 = 1-p$. Оба должны удовлетворять неравенству.

  Для $x_1 = 1+p$ условие выполняется при $p \ge 1$.

  Для $x_2 = 1-p$ условие выполняется при $p \ge 3$.

  Чтобы оба корня удовлетворяли неравенству, оба условия должны выполняться одновременно: $\begin{cases} p \ge 1 \\ p \ge 3 \end{cases}$. Решением этой системы является $p \ge 3$.

Таким образом, все корни удовлетворяют неравенству при $p \ge 3$.

Ответ: $p \in [3, \infty)$.

29.7. Докажите, что уравнение $|f(x)| = h(x)$ равносильно системе

$$\text{теме}\left\{\begin{array}{l} f(x) = h(x), \\ f(x) = -h(x), \end{array}\right.$$

$$h(x) \ge 0.$$

Для доказательства равносильности уравнения $|f(x)| = h(x)$ и системы $ \begin{cases} \left[ \begin{aligned} f(x) = h(x) \\ f(x) = -h(x) \end{aligned} \right. \\ h(x) \ge 0 \end{cases} $ необходимо показать, что множества их решений совпадают. То есть, любое решение уравнения является решением системы, и любое решение системы является решением уравнения.

1. Докажем, что любое решение уравнения является решением системы.

Пусть $x_0$ — корень уравнения, то есть $|f(x_0)| = h(x_0)$.

По определению модуля, значение $|f(x_0)|$ является неотрицательным, то есть $|f(x_0)| \ge 0$. Из равенства следует, что и правая часть $h(x_0)$ также должна быть неотрицательной: $h(x_0) \ge 0$. Это соответствует неравенству в системе.

Далее, по определению модуля, равенство $|A| = B$ при условии, что $B \ge 0$, эквивалентно совокупности уравнений $A = B$ или $A = -B$. Применительно к нашему случаю, это означает, что $f(x_0) = h(x_0)$ или $f(x_0) = -h(x_0)$. Это в точности соответствует совокупности уравнений в системе.

Таким образом, мы показали, что любой корень исходного уравнения удовлетворяет всем условиям системы.

2. Докажем, что любое решение системы является решением уравнения.

Пусть $x_0$ — решение системы. Это означает, что для $x_0$ одновременно выполняются два условия: $h(x_0) \ge 0$ и совокупность уравнений ($f(x_0) = h(x_0)$ или $f(x_0) = -h(x_0)$).

Рассмотрим оба случая, вытекающие из совокупности:

• Если $f(x_0) = h(x_0)$. Возьмём модуль от обеих частей этого равенства: $|f(x_0)| = |h(x_0)|$. Так как по условию системы $h(x_0) \ge 0$, то $|h(x_0)| = h(x_0)$. Следовательно, мы получаем $|f(x_0)| = h(x_0)$.

• Если $f(x_0) = -h(x_0)$. Возьмём модуль от обеих частей: $|f(x_0)| = |-h(x_0)|$. Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, получаем $|f(x_0)| = |h(x_0)|$. И снова, поскольку $h(x_0) \ge 0$, имеем $|h(x_0)| = h(x_0)$. Следовательно, $|f(x_0)| = h(x_0)$.

В обоих возможных случаях мы приходим к выводу, что $x_0$ является решением уравнения $|f(x)| = h(x)$.

Поскольку мы доказали, что множества решений уравнения и системы полностью совпадают, они являются равносильными.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Решите уравнение:

29.8. а) $|2x - 3| = x;$

б) $|3x - 1| = x + 9;$

в) $|2x - 2| = 5x + 1;$

г) $|4x + 3| = -6x - 7.$

а) Для решения уравнения $|2x - 3| = x$ необходимо учесть, что значение модуля не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. При выполнении этого условия уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $2x - 3 = x$ или $2x - 3 = -x$. Решим каждое из них. Первое уравнение: $2x - x = 3$, откуда $x = 3$. Второе уравнение: $2x + x = 3$, откуда $3x = 3$, и $x = 1$. Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни $x=3$ и $x=1$ начальному условию $x \ge 0$. Корень $x=3$ удовлетворяет условию ($3 \ge 0$). Корень $x=1$ также удовлетворяет условию ($1 \ge 0$). Таким образом, оба числа являются решениями исходного уравнения. Ответ: $1; 3$.

б) Решим уравнение $|3x - 1| = x + 9$. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, то есть $x + 9 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -9$. При этом условии исходное уравнение можно заменить совокупностью двух уравнений: $3x - 1 = x + 9$ или $3x - 1 = -(x + 9)$. Решим первое уравнение: $3x - x = 9 + 1$, $2x = 10$, $x = 5$. Решим второе уравнение: $3x - 1 = -x - 9$, $3x + x = -9 + 1$, $4x = -8$, $x = -2$. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge -9$. Корень $x=5$ удовлетворяет условию ($5 \ge -9$). Корень $x=-2$ также удовлетворяет условию ($-2 \ge -9$). Следовательно, оба корня являются решениями. Ответ: $-2; 5$.

в) Решим уравнение $|2x - 2| = 5x + 1$. По определению модуля, правая часть должна быть неотрицательной: $5x + 1 \ge 0$, откуда $5x \ge -1$, то есть $x \ge -\frac{1}{5}$. При этом условии уравнение распадается на два случая: $2x - 2 = 5x + 1$ и $2x - 2 = -(5x + 1)$. Решим первый случай: $2x - 5x = 1 + 2$, $-3x = 3$, $x = -1$. Решим второй случай: $2x - 2 = -5x - 1$, $2x + 5x = -1 + 2$, $7x = 1$, $x = \frac{1}{7}$. Теперь проверим корни на соответствие условию $x \ge -\frac{1}{5}$. Для $x = -1$: $-1 \ge -\frac{1}{5}$ является ложным утверждением, так как $-1 = -\frac{5}{5}$. Этот корень не подходит. Для $x = \frac{1}{7}$: $\frac{1}{7} \ge -\frac{1}{5}$ является истинным утверждением. Этот корень подходит. Таким образом, уравнение имеет единственное решение. Ответ: $\frac{1}{7}$.

г) Решим уравнение $|4x + 3| = -6x - 7$. Условие на правую часть: $-6x - 7 \ge 0$. Решим это неравенство: $-6x \ge 7$, $x \le -\frac{7}{6}$. При выполнении этого условия исходное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $4x + 3 = -6x - 7$ и $4x + 3 = -(-6x - 7)$. Решим первое уравнение: $4x + 6x = -7 - 3$, $10x = -10$, $x = -1$. Решим второе уравнение: $4x + 3 = 6x + 7$, $4x - 6x = 7 - 3$, $-2x = 4$, $x = -2$. Проверим найденные корни. Корень $x = -1$: проверяем условие $x \le -\frac{7}{6}$. $-1 \le -\frac{7}{6}$ (или $-\frac{6}{6} \le -\frac{7}{6}$) является ложным утверждением. Этот корень не является решением. Корень $x = -2$: проверяем условие $x \le -\frac{7}{6}$. $-2 \le -\frac{7}{6}$ (или $-\frac{12}{6} \le -\frac{7}{6}$) является истинным утверждением. Этот корень является решением. Ответ: $-2$.

29.9. a) $|x^2 - x| = 4x;$

Б) $|2x - x^2 + 3| = x + 7;$

В) $|x^2 - 6x + 10| = x;$

Г) $|-x^2 + 4x - 5| = -x.$

а)

Дано уравнение $|x^2 - x| = 4x$.

Это уравнение вида $|f(x)| = g(x)$. Оно имеет решения только при условии, что правая часть неотрицательна, то есть $g(x) \ge 0$.

В нашем случае $g(x) = 4x$. Следовательно, должно выполняться условие $4x \ge 0$, из которого следует $x \ge 0$.

При этом условии уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - x = 4x$

$x^2 - 5x = 0$

$x(x - 5) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

2) $x^2 - x = -4x$

$x^2 + 3x = 0$

$x(x + 3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = -3$.

Проверяем эти корни по условию $x \ge 0$. Корень $x_3 = 0$ удовлетворяет условию. Корень $x_4 = -3$ не удовлетворяет условию ($ -3 \lt 0$), поэтому он является посторонним.

Объединяя все найденные решения, которые удовлетворяют начальному условию, получаем корни $0$ и $5$.

Ответ: $0; 5$.

б)

Дано уравнение $|2x - x^2 + 3| = x + 7$.

Аналогично предыдущему пункту, правая часть должна быть неотрицательной: $x + 7 \ge 0$, то есть $x \ge -7$.

Раскрываем модуль, рассматривая два случая:

1) $2x - x^2 + 3 = x + 7$

$-x^2 + x - 4 = 0$

$x^2 - x + 4 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

2) $2x - x^2 + 3 = -(x + 7)$

$2x - x^2 + 3 = -x - 7$

$-x^2 + 3x + 10 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $-10$. Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge -7$.

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge -7$).

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию ($-2 \ge -7$).

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 5$.

в)

Дано уравнение $|x^2 - 6x + 10| = x$.

Условие существования решений: $x \ge 0$.

Рассмотрим выражение под модулем: $x^2 - 6x + 10$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положительный, то выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно при любом значении $x$.

Следовательно, $|x^2 - 6x + 10| = x^2 - 6x + 10$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 - 6x + 10 = x$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $10$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Ответ: $2; 5$.

г)

Дано уравнение $|-x^2 + 4x - 5| = -x$.

Условие существования решений: $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$.

Рассмотрим выражение под модулем: $-x^2 + 4x - 5$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вниз. Найдем ее дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=-1$) отрицательный, то выражение $-x^2 + 4x - 5$ всегда отрицательно при любом значении $x$.

Следовательно, $|-x^2 + 4x - 5| = -(-x^2 + 4x - 5) = x^2 - 4x + 5$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 - 4x + 5 = -x$

$x^2 - 3x + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: корней нет.

29.10. a) $|\log_2 x| = \log_2 (2x - 3);$

б) $|\log_3 (3x - 2) + \log_3 (2x - 1)| = \log_3 (2x - 1);$

в) $|\log_5 (x + 3)| = \log_5 (4x + 1);$

г) $|\log_7 (2x - 7) - \log_7 (x - 11)| = \log_7 (x - 11).$

а) $|\log_2 x| = \log_2 (2x - 3)$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$x > 0$
$2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > 1.5$
Кроме того, правая часть уравнения, $\log_2 (2x - 3)$, должна быть неотрицательной, так как она равна модулю некоторого числа:
$\log_2 (2x - 3) \ge 0$
Поскольку $\log_2 1 = 0$, это неравенство равносильно:
$2x - 3 \ge 1 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2$
Объединяя все условия ($x > 0$, $x > 1.5$ и $x \ge 2$), получаем итоговую ОДЗ: $x \ge 2$.

2. Решим уравнение. Уравнение вида $|A| = B$ равносильно совокупности двух уравнений при условии $B \ge 0$, которое мы уже учли в ОДЗ. Раскроем модуль:
Случай 1: $\log_2 x = \log_2 (2x - 3)$
Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:
$x = 2x - 3$
$-x = -3 \implies x = 3$
Проверяем корень по ОДЗ: $3 \ge 2$. Корень подходит.

Случай 2: $\log_2 x = -\log_2 (2x - 3)$
Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$, получаем:
$\log_2 x = \log_2 (2x - 3)^{-1} \implies \log_2 x = \log_2 \left(\frac{1}{2x - 3}\right)$
Приравниваем аргументы:
$x = \frac{1}{2x - 3}$
$x(2x - 3) = 1$
$2x^2 - 3x - 1 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-1) = 9 + 8 = 17$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$.
Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$):
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $\frac{3+4}{4} < x_1 < \frac{3+5}{4}$, что дает $1.75 < x_1 < 2$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$. Так как $\sqrt{17} > 3$, этот корень отрицателен и не удовлетворяет ОДЗ.
Таким образом, единственным решением уравнения является $x=3$.
Ответ: 3.

б) $|\log_3 (3x - 2) + \log_3 (2x - 1)| = \log_3 (2x - 1)$
1. Найдем ОДЗ:
$3x - 2 > 0 \implies x > 2/3$
$2x - 1 > 0 \implies x > 1/2$
Правая часть $\log_3 (2x - 1) \ge 0 \implies 2x - 1 \ge 1 \implies 2x \ge 2 \implies x \ge 1$.
Общая ОДЗ: $x \ge 1$.

2. Решим уравнение, раскрыв модуль:
Случай 1: $\log_3 (3x - 2) + \log_3 (2x - 1) = \log_3 (2x - 1)$
$\log_3 (3x - 2) = 0$
$3x - 2 = 3^0 \implies 3x - 2 = 1 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 1$).

Случай 2: $\log_3 (3x - 2) + \log_3 (2x - 1) = -\log_3 (2x - 1)$
$\log_3 (3x - 2) = -2\log_3 (2x - 1)$
$\log_3 (3x - 2) = \log_3 ((2x - 1)^{-2})$
$3x - 2 = \frac{1}{(2x - 1)^2}$
$(3x - 2)(4x^2 - 4x + 1) = 1$
$12x^3 - 12x^2 + 3x - 8x^2 + 8x - 2 = 1$
$12x^3 - 20x^2 + 11x - 3 = 0$
Проверим, является ли $x=1$ корнем этого уравнения: $12 - 20 + 11 - 3 = 0$. Да, является. Разделим многочлен на $(x - 1)$: $(12x^3 - 20x^2 + 11x - 3) : (x-1) = 12x^2 - 8x + 3$.
Получаем уравнение $(x-1)(12x^2 - 8x + 3) = 0$.
Для квадратного уравнения $12x^2 - 8x + 3 = 0$ найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4(12)(3) = 64 - 144 = -80 < 0$. Действительных корней нет.
Единственное решение из этого случая - $x=1$, которое мы уже нашли.
Ответ: 1.

в) $|\log_5 (x + 3)| = \log_5 (4x + 1)$
1. Найдем ОДЗ:
$x + 3 > 0 \implies x > -3$
$4x + 1 > 0 \implies x > -1/4$
Правая часть $\log_5 (4x + 1) \ge 0 \implies 4x + 1 \ge 1 \implies 4x \ge 0 \implies x \ge 0$.
Общая ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Решим уравнение, раскрыв модуль:
Случай 1: $\log_5 (x + 3) = \log_5 (4x + 1)$
$x + 3 = 4x + 1$
$3x = 2 \implies x = 2/3$.
Корень $x = 2/3$ удовлетворяет ОДЗ ($2/3 \ge 0$).

Случай 2: $\log_5 (x + 3) = -\log_5 (4x + 1)$
$\log_5 (x + 3) = \log_5 ((4x + 1)^{-1})$
$x + 3 = \frac{1}{4x + 1}$
$(x + 3)(4x + 1) = 1$
$4x^2 + x + 12x + 3 = 1$
$4x^2 + 13x + 2 = 0$
$D = 13^2 - 4(4)(2) = 169 - 32 = 137$.
$x_{1,2} = \frac{-13 \pm \sqrt{137}}{8}$.
Так как $11 < \sqrt{137} < 12$, оба корня $x_1 = \frac{-13 + \sqrt{137}}{8}$ и $x_2 = \frac{-13 - \sqrt{137}}{8}$ отрицательны и не удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).
Следовательно, единственное решение - это $x=2/3$.
Ответ: 2/3.

г) $|\log_7 (2x - 7) - \log_7 (x - 11)| = \log_7 (x - 11)$
1. Найдем ОДЗ:
$2x - 7 > 0 \implies x > 3.5$
$x - 11 > 0 \implies x > 11$
Правая часть $\log_7 (x - 11) \ge 0 \implies x - 11 \ge 1 \implies x \ge 12$.
Общая ОДЗ: $x \ge 12$.

2. Решим уравнение, раскрыв модуль:
Случай 1: $\log_7 (2x - 7) - \log_7 (x - 11) = \log_7 (x - 11)$
$\log_7 (2x - 7) = 2\log_7 (x - 11)$
$\log_7 (2x - 7) = \log_7 ((x - 11)^2)$
$2x - 7 = (x - 11)^2$
$2x - 7 = x^2 - 22x + 121$
$x^2 - 24x + 128 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 24, произведение равно 128. Корни: $x_1 = 8$, $x_2 = 16$.
Проверяем по ОДЗ ($x \ge 12$): $x_1 = 8$ не подходит, $x_2 = 16$ подходит.

Случай 2: $\log_7 (2x - 7) - \log_7 (x - 11) = -\log_7 (x - 11)$
$\log_7 (2x - 7) = 0$
$2x - 7 = 7^0 \implies 2x - 7 = 1 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
Корень $x=4$ не удовлетворяет ОДЗ ($4 < 12$).
Следовательно, единственное решение - это $x=16$.
Ответ: 16.

29.11. a) $ | \cos x | = \sin x; $

б) $ | \cos 3x | = -\cos x; $

В) $ | \sin 2x | = \cos x; $

Г) $ | \sin 5x | = -\sin x. $

а)

Дано уравнение $|\cos x| = \sin x$.

По определению модуля, значение в левой части уравнения неотрицательно, следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной. Получаем условие:$\sin x \ge 0$.Это соответствует углам $x$, находящимся в I и II координатных четвертях: $2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $|\cos x| = \sin x$ равносильно совокупности двух уравнений при выполнении условия $\sin x \ge 0$:

1) $\cos x = \sin x$.Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Поэтому можно разделить обе части на $\cos x \ne 0$:$\tan x = 1$.Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Отберем корни, удовлетворяющие условию $\sin x \ge 0$:- если $k = 2n$ (четное), то $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. $\sin(\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$. Эти корни подходят.- если $k = 2n+1$ (нечетное), то $x = \frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$. $\sin(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n) = \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Эти корни не подходят.Таким образом, из этого случая получаем решения $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -\sin x$.Аналогично, делим на $\cos x \ne 0$:$\tan x = -1$.Решения этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Отберем корни, удовлетворяющие условию $\sin x \ge 0$:- если $k = 2n$ (четное), то $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. $\sin(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$. Эти корни подходят.- если $k = 2n+1$ (нечетное), то $x = \frac{3\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$. $\sin(\frac{7\pi}{4} + 2\pi n) = \sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Эти корни не подходят.Таким образом, из этого случая получаем решения $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $|\cos 3x| = -\cos x$.

Из определения модуля следует, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной:$-\cos x \ge 0 \implies \cos x \le 0$.Это соответствует углам $x$, находящимся во II и III координатных четвертях: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $\cos 3x = -\cos x \implies \cos 3x + \cos x = 0$.Используем формулу суммы косинусов: $2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 0 \implies 2\cos 2x \cos x = 0$.Отсюда либо $\cos x = 0$, либо $\cos 2x = 0$.- $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Эти значения удовлетворяют условию $\cos x \le 0$.- $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Проверим условие $\cos x \le 0$. - При $k=4m$: $x=\frac{\pi}{4}+2\pi m$, $\cos x>0$. Не подходит. - При $k=4m+1$: $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m$, $\cos x<0$. Подходит. - При $k=4m+2$: $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi m$, $\cos x<0$. Подходит. - При $k=4m+3$: $x=\frac{7\pi}{4}+2\pi m$, $\cos x>0$. Не подходит. Получаем серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

2) $\cos 3x = -(-\cos x) \implies \cos 3x = \cos x \implies \cos 3x - \cos x = 0$.Используем формулу разности косинусов: $-2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 0 \implies -2\sin 2x \sin x = 0$.Отсюда либо $\sin x = 0$, либо $\sin 2x = 0$.- $\sin x = 0 \implies x = \pi k$. Проверим условие $\cos x \le 0$. - При $k=2n$ (четное): $x=2\pi n$, $\cos x=1>0$. Не подходит. - При $k=2n+1$ (нечетное): $x=\pi+2\pi n$, $\cos x=-1<0$. Подходит. Получаем серию $x = \pi + 2\pi n$.- $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$. Серия $x=\pi k$ является подмножеством этой. Новые корни появляются при нечетных $k$. Это серия $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, которая уже найдена в первом случае ($\cos x = 0$).

Объединяем все найденные серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pi + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $|\sin 2x| = \cos x$.

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:$\cos x \ge 0$.Это соответствует углам $x$, находящимся в I и IV координатных четвертях: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $\sin 2x = \cos x$.$2\sin x \cos x - \cos x = 0 \implies \cos x(2\sin x - 1) = 0$.- $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Эти значения удовлетворяют условию $\cos x \ge 0$.- $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$. Решения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. - Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. Подходит. - Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. Не подходит.

2) $\sin 2x = -\cos x$.$2\sin x \cos x + \cos x = 0 \implies \cos x(2\sin x + 1) = 0$.- $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Решения уже найдены.- $2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$. Решения: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$. - Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. Подходит. - Для $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. Не подходит.

Объединяем все решения. Серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ можно записать как $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $|\sin 5x| = -\sin x$.

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:$-\sin x \ge 0 \implies \sin x \le 0$.Это соответствует углам $x$, находящимся в III и IV координатных четвертях: $\pi + 2\pi n \le x \le 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений при выполнении условия $\sin x \le 0$:

1) $\sin 5x = -\sin x \implies \sin 5x + \sin x = 0$.По формуле суммы синусов: $2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} = 0 \implies 2\sin 3x \cos 2x = 0$.Получаем две серии решений: $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}$ и $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

2) $\sin 5x = -(-\sin x) \implies \sin 5x = \sin x \implies \sin 5x - \sin x = 0$.По формуле разности синусов: $2\sin\frac{5x-x}{2}\cos\frac{5x+x}{2} = 0 \implies 2\sin 2x \cos 3x = 0$.Получаем две серии решений: $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$ и $\cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.

Теперь отберем корни из всех четырех серий, удовлетворяющие условию $\sin x \le 0$.

• Из $x = \frac{\pi k}{3}$: подходят $x=\pi+2\pi n$, $x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$, $x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n$, $x=2\pi+2\pi n$. Вместе это $x=\pi n$, $x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$, $x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n$.
• Из $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$: подходят $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.
• Из $x = \frac{\pi k}{2}$: подходят $x=\pi+2\pi n$, $x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$, $x=2\pi+2\pi n$. Новые решения: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Остальные уже найдены.
• Из $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$: подходят $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$. Новые: $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$ и $x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n$.

Объединяем все уникальные серии решений.

Ответ: $x = \pi n, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

29.12. Докажите, что уравнение $|f(x)| = |h(x)|$ равносильно совокупности уравнений $\left[ \begin{array}{l} f(x) = h(x), \\ f(x) = -h(x). \end{array} \right.$

Чтобы доказать, что уравнение $|f(x)| = |h(x)|$ равносильно совокупности уравнений $\begin{bmatrix} f(x) = h(x), \\ f(x) = -h(x) \end{bmatrix}$, мы должны показать, что множества их решений совпадают. Для этого докажем, что из первого утверждения следует второе, и наоборот.

Доказательство в одну сторону: из $|f(x)| = |h(x)|$ следует совокупность.

Рассмотрим уравнение $|f(x)| = |h(x)|$. Поскольку обе части уравнения являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, при этом преобразование будет равносильным:
$(|f(x)|)^2 = (|h(x)|)^2$
Используя свойство модуля $|a|^2 = a^2$ для любого действительного числа $a$, получаем:
$f(x)^2 = h(x)^2$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$f(x)^2 - h(x)^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(f(x) - h(x))(f(x) + h(x)) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$f(x) - h(x) = 0$ или $f(x) + h(x) = 0$.
Отсюда следует, что $f(x) = h(x)$ или $f(x) = -h(x)$, что и представляет собой заданную совокупность.

Доказательство в обратную сторону: из совокупности следует $|f(x)| = |h(x)|$.

Пусть выполняется одно из условий совокупности $\begin{bmatrix} f(x) = h(x), \\ f(x) = -h(x) \end{bmatrix}$. Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $f(x) = h(x)$.
Если данное равенство верно, то будут верны и равенства модулей от его левой и правой частей: $|f(x)| = |h(x)|$.
Случай 2: $f(x) = -h(x)$.
Возьмем модуль от обеих частей этого равенства: $|f(x)| = |-h(x)|$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем $|-h(x)| = |h(x)|$. Следовательно, $|f(x)| = |h(x)|$.
Поскольку в обоих случаях мы приходим к равенству $|f(x)| = |h(x)|$, то любое решение совокупности является решением исходного уравнения.

Так как мы доказали, что любое решение уравнения является решением совокупности, и любое решение совокупности является решением уравнения, то они равносильны.

Ответ: Равносильность доказана.