Страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Вычисляем площади. Формула Пика, палетка, определённый интеграл.

Существует несколько методов вычисления площади плоских фигур. Рассмотрим три из них: формулу Пика, метод палетки и вычисление с помощью определённого интеграла.

Формула Пика

Формула Пика — это элегантный способ нахождения площади многоугольника, все вершины которого расположены в узлах целочисленной решётки (то есть имеют целочисленные координаты). Формула связывает площадь многоугольника с количеством целочисленных точек внутри него и на его границе.

Формула выглядит следующим образом:

$S = В + \frac{Г}{2} - 1$

где:
$S$ — площадь многоугольника;
$В$ — количество целочисленных точек, находящихся строго внутри многоугольника;
$Г$ — количество целочисленных точек, лежащих на границе многоугольника (включая вершины).

Пример:
Найдём площадь треугольника с вершинами в точках A(1, 1), B(4, 2) и C(2, 5).
1. Находим количество граничных точек ($Г$). Это только 3 вершины: A, B, и C. На отрезках между ними нет других целочисленных точек. Таким образом, $Г = 3$.
2. Находим количество внутренних точек ($В$). Это точки с целыми координатами, лежащие внутри треугольника. Путем проверки можно установить, что это точки (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3). Всего $В = 5$ точек.
3. Применяем формулу Пика:
$S = 5 + \frac{3}{2} - 1 = 5 + 1.5 - 1 = 5.5$ квадратных единиц.
Этот результат можно проверить, например, по формуле площади Гаусса, и он окажется верным.

Ответ: Площадь многоугольника с целочисленными вершинами вычисляется по формуле $S = В + \frac{Г}{2} - 1$, где $В$ — число внутренних целочисленных точек, $Г$ — число граничных целочисленных точек.

Палетка

Метод палетки — это простой, но приблизительный способ оценки площади фигуры произвольной формы. Палетка представляет собой прозрачную плёнку или лист бумаги, расчерченный на одинаковые квадраты известной площади (например, 1 см²).

Алгоритм вычисления площади с помощью палетки следующий: сначала палетку накладывают на фигуру. Затем подсчитывают количество $N$ целых квадратов, которые полностью оказались внутри контура фигуры, и количество $K$ квадратов, которые контур фигуры пересекает (частично покрытые квадраты). Приближённая площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S \approx (N + \frac{K}{2}) \cdot S_0$

где $S_0$ — площадь одного квадрата палетки.

Логика метода заключается в предположении, что в среднем линия границы отсекает от частично покрытых квадратов половину их площади. Точность метода повышается с уменьшением размера квадратов палетки.

Ответ: Приближенная площадь фигуры находится по формуле $S \approx (N + \frac{K}{2}) \cdot S_0$, где $N$ — число целых клеток внутри фигуры, $K$ — число клеток, пересекаемых границей фигуры, $S_0$ — площадь одной клетки.

Определённый интеграл

В математическом анализе определённый интеграл является мощным инструментом для точного вычисления площадей криволинейных фигур.

1. Площадь криволинейной трапеции
Если фигура (криволинейная трапеция) ограничена сверху графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, снизу — осью абсцисс (Ox), а по бокам — прямыми $x=a$ и $x=b$, то её площадь равна:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Геометрически это означает нахождение предела суммы площадей бесконечно узких прямоугольников, на которые разбивается фигура.

2. Площадь фигуры между двумя кривыми
Если фигура ограничена сверху графиком функции $y=f(x)$, а снизу — графиком функции $y=g(x)$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$, то её площадь вычисляется как разность площадей:

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx$

Пример:
Вычислим площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2+1$, осью Ox и прямыми $x=0$ и $x=3$.
Так как функция $y=x^2+1$ неотрицательна на отрезке $[0, 3]$, используем первую формулу:
$S = \int_{0}^{3} (x^2 + 1) \,dx$
Находим первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = \frac{x^3}{3} + x$.
По формуле Ньютона-Лейбница, подставляем пределы интегрирования:
$S = F(3) - F(0) = (\frac{3^3}{3} + 3) - (\frac{0^3}{3} + 0) = (\frac{27}{3} + 3) - 0 = (9 + 3) = 12$
Площадь равна 12 квадратным единицам.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком $y=f(x)$ ($f(x) \ge 0$), осью Ox и прямыми $x=a, x=b$, равна $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$. Площадь фигуры между кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ ($f(x) \ge g(x)$) на отрезке $[a, b]$ равна $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx$.

2. Применения интегралов в различных областях знаний.

Интегральное исчисление является мощным математическим аппаратом, который находит применение в самых разных сферах науки и техники. Основная идея интеграла — нахождение целого по его частям, или, говоря более формально, суммирование бесконечно малых величин. Это позволяет решать широкий круг задач, от вычисления геометрических характеристик до моделирования сложных динамических процессов.

Геометрия

Исторически первые применения интегралов были связаны с решением геометрических задач. С помощью определенного интеграла можно вычислять:

• Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

• Объем тела. Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, находится по формуле: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$.

• Длину дуги кривой. Длина дуги кривой, заданной функцией $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется как: $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$.

Ответ: В геометрии интегралы являются основным инструментом для точного вычисления площадей фигур сложной формы, объемов тел вращения и длин кривых.

Физика

В физике, где многие величины являются производными от других, интегралы используются для обратной операции — нахождения исходной величины.

• Механика. Если известна зависимость скорости от времени $v(t)$, то путь $S$, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, равен: $S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$. Работа $A$, совершаемая переменной силой $F(x)$ при перемещении тела из точки $a$ в точку $b$, вычисляется как: $A = \int_{a}^{b} F(x) dx$. Также интегралы используются для нахождения центра масс тел с неоднородной плотностью, например, для стержня: $x_c = \frac{\int x dm}{\int dm}$.

• Термодинамика. Работа $W$, совершаемая газом при изменении его объема от $V_1$ до $V_2$ под давлением $P(V)$, равна: $W = \int_{V_1}^{V_2} P(V) dV$.

• Электродинамика. Фундаментальные законы, такие как теорема Гаусса для электрического поля, формулируются в интегральной форме. Поток вектора напряженности $\vec{E}$ через замкнутую поверхность $S$ связан с полным зарядом $Q_{внутр}$ внутри нее: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{внутр}}{\epsilon_0}$.

Ответ: В физике интегралы позволяют вычислять путь, работу, давление жидкости, характеристики электромагнитных полей и другие физические величины, которые определяются как сумма или накопление других, изменяющихся величин.

Экономика

В экономической теории интегралы применяются для перехода от предельных (маржинальных) показателей к общим (совокупным).

• Совокупные и предельные величины. Зная функцию предельных издержек $MC(Q)$, можно найти совокупные издержки $TC(Q)$ производства $Q$ единиц продукции: $TC(Q) = \int MC(Q) dQ + FC$, где $FC$ — постоянные издержки. Аналогично, совокупный доход $TR(Q)$ находится интегрированием предельного дохода $MR(Q)$.

• Излишек потребителя и производителя. Эти понятия характеризуют выгоду участников рынка. Излишек потребителя (CS) — это площадь фигуры между кривой спроса $D(Q)$ и линией рыночной цены $P_e$. Излишек производителя (PS) — это площадь между линией цены $P_e$ и кривой предложения $S(Q)$. Они вычисляются как: $CS = \int_{0}^{Q_e} D(Q) dQ - P_e Q_e$ и $PS = P_e Q_e - \int_{0}^{Q_e} S(Q) dQ$, где $Q_e$ — равновесный объем.

Ответ: В экономике интегралы используются для анализа затрат и доходов, а также для расчета и оценки благосостояния потребителей и производителей на рынке.

Теория вероятностей и статистика

Интегральное исчисление является основой для работы с непрерывными случайными величинами.

• Функция плотности вероятности. Для непрерывной случайной величины $X$ с функцией плотности вероятности $f(x)$ вероятность того, что $X$ примет значение в интервале $[a, b]$, равна площади под графиком плотности на этом интервале: $P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

• Числовые характеристики. Математическое ожидание (среднее значение) непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$. Аналогично, с помощью интегралов вычисляются дисперсия, моменты и другие характеристики распределения.

Ответ: В теории вероятностей интегралы необходимы для определения вероятностей и нахождения числовых характеристик (таких как среднее значение) для непрерывных случайных величин.

Биология и медицина

Интегралы помогают моделировать и количественно описывать биологические процессы.

• Динамика популяций. Если известна скорость роста популяции $r(t)$, то изменение ее численности за время от $t_1$ до $t_2$ можно найти, проинтегрировав эту скорость: $\Delta N = \int_{t_1}^{t_2} r(t) dt$.

• Фармакокинетика. В медицине для оценки общего воздействия лекарства на организм вычисляют "площадь под кривой концентрация-время" (AUC). Если $C(t)$ — концентрация препарата в крови в момент времени $t$, то $AUC = \int_{0}^{\infty} C(t) dt$. Этот показатель важен для определения биодоступности и дозировки лекарств.

• Кровоток. Общий объемный расход крови $Q$ в сосуде можно рассчитать, проинтегрировав профиль скорости кровотока $v(r)$ по поперечному сечению сосуда: $Q = \int_{0}^{R} 2\pi r v(r) dr$, где $R$ — радиус сосуда.

Ответ: В биологии и медицине интегралы применяются для моделирования роста популяций, расчета скорости физиологических процессов (например, кровотока) и для количественной оценки действия лекарственных средств.

3. Вычисление объёмов и площадей поверхности тел вращения при помощи определённого интеграла.

Определенный интеграл является мощным инструментом для вычисления геометрических характеристик фигур и тел. Рассмотрим, как с его помощью находить объемы и площади поверхностей тел, образованных вращением плоской кривой вокруг одной из координатных осей.

Вычисление объема тела вращения

Тело вращения образуется при вращении криволинейной трапеции вокруг оси. Криволинейная трапеция — это плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми.

1. Вращение вокруг оси Ox

Пусть криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции $y = f(x)$, где $f(x) \ge 0$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. При вращении этой трапеции вокруг оси $Ox$ образуется тело вращения.

Для нахождения его объема мы используем метод дисков. Мысленно разобьем тело на тонкие диски (цилиндры) толщиной $dx$, перпендикулярные оси $Ox$. Радиус каждого такого диска равен значению функции $y = f(x)$ в данной точке $x$. Площадь основания такого диска равна $S(x) = \pi y^2 = \pi [f(x)]^2$. Объем элементарного диска (цилиндра) равен $dV = S(x) dx = \pi [f(x)]^2 dx$.

Чтобы найти полный объем тела, нужно просуммировать объемы всех этих элементарных дисков, что соответствует операции интегрирования в пределах от $a$ до $b$.

Формула для вычисления объема тела вращения вокруг оси $Ox$:

$V_x = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

2. Вращение вокруг оси Oy

Аналогично, если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции $x = g(y)$, где $g(y) \ge 0$, осью $Oy$ и прямыми $y=c$ и $y=d$, то при вращении этой фигуры вокруг оси $Oy$ объем полученного тела вычисляется по формуле:

$V_y = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$

В этом случае радиусом диска является значение $x = g(y)$, а его толщина равна $dy$.

Ответ:

Объем тела, образованного вращением кривой $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$ вокруг оси $Ox$: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$.

Объем тела, образованного вращением кривой $x = g(y)$ на отрезке $[c, d]$ вокруг оси $Oy$: $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$.

Вычисление площади поверхности тела вращения

Площадь поверхности вращения — это площадь боковой поверхности тела, образованного вращением дуги кривой вокруг оси (не включая площади оснований).

1. Вращение вокруг оси Ox

Пусть гладкая кривая задана уравнением $y = f(x)$, где $f(x) \ge 0$ и $f'(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$. При вращении этой кривой вокруг оси $Ox$ образуется поверхность вращения.

Для нахождения площади этой поверхности мы рассматриваем малый элемент дуги кривой $dl$. При вращении этот элемент образует узкую полоску, площадь которой можно аппроксимировать площадью боковой поверхности усеченного конуса. Площадь этого элементарного фрагмента поверхности равна $dS = 2\pi y \cdot dl$, где $y = f(x)$ — радиус вращения, а $dl$ — дифференциал длины дуги.

Дифференциал длины дуги вычисляется по формуле: $dl = \sqrt{1 + (y')^2} dx = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$.

Подставляя это в выражение для $dS$ и интегрируя по отрезку $[a, b]$, получаем формулу для площади поверхности вращения:

$S_x = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$

2. Вращение вокруг оси Oy

Если гладкая кривая задана уравнением $x = g(y)$, где $g(y) \ge 0$ и $g'(y)$ непрерывна на отрезке $[c, d]$, то площадь поверхности, образованной ее вращением вокруг оси $Oy$, вычисляется по аналогичной формуле. Здесь радиусом вращения будет $x = g(y)$, а дифференциал дуги $dl = \sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy$.

$S_y = 2\pi \int_{c}^{d} g(y) \sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy$

Ответ:

Площадь поверхности, образованной вращением кривой $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$ вокруг оси $Ox$: $S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$.

Площадь поверхности, образованной вращением кривой $x = g(y)$ на отрезке $[c, d]$ вокруг оси $Oy$: $S = 2\pi \int_{c}^{d} g(y) \sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy$.

4. Задание натурального логарифма при помощи определённого интеграла.

Натуральный логарифм, обозначаемый как $\ln(x)$, для любого положительного числа $x$ может быть определён через определённый интеграл. Этот подход является одним из фундаментальных в математическом анализе, поскольку он позволяет строго построить теорию логарифмических и показательных функций, не прибегая к определению степени с иррациональным показателем.

Формальное определение натурального логарифма числа $x > 0$ задается следующим образом:$$ \ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt $$

С геометрической точки зрения, это определение означает, что значение $\ln(x)$ равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции (гиперболой) $y = \frac{1}{t}$, осью абсцисс $Ot$ и вертикальными прямыми $t=1$ и $t=x$.Из этого следует:
• Если $x > 1$, интеграл представляет собой площадь, и его значение положительно.
• Если $x = 1$, пределы интегрирования совпадают, и интеграл равен нулю: $\ln(1) = \int_{1}^{1} \frac{1}{t} dt = 0$.
• Если $0 < x < 1$, то интеграл можно переписать как $\ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt = -\int_{x}^{1} \frac{1}{t} dt$. Поскольку $x < 1$, интеграл $\int_{x}^{1} \frac{1}{t} dt$ положителен (представляет площадь), а значит $\ln(x)$ имеет отрицательное значение.

Из этого интегрального определения можно строго вывести все основные свойства натурального логарифма.

Производная логарифма.Используя основную теорему анализа (формулу Ньютона-Лейбница в форме с переменным верхним пределом), мы можем найти производную функции $F(x) = \ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt$. Производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этой точке:$$ (\ln(x))' = \frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt \right) = \frac{1}{x} $$Это доказывает, что функция, заданная интегралом, является первообразной для функции $\frac{1}{x}$ на интервале $(0, +\infty)$.

Логарифм произведения: $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$.Рассмотрим $\ln(ab)$:$$ \ln(ab) = \int_{1}^{ab} \frac{1}{t} dt = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} dt + \int_{a}^{ab} \frac{1}{t} dt $$Первый интеграл в сумме по определению равен $\ln(a)$. Во втором интеграле $\int_{a}^{ab} \frac{1}{t} dt$ сделаем замену переменной. Пусть $t = au$, тогда $dt = a\,du$. Новые пределы интегрирования: если $t=a$, то $u=1$; если $t=ab$, то $u=b$.$$ \int_{a}^{ab} \frac{1}{t} dt = \int_{1}^{b} \frac{1}{au} (a\,du) = \int_{1}^{b} \frac{1}{u} du = \ln(b) $$Таким образом, мы получаем: $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$.

Логарифм частного: $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$.Это свойство легко выводится из предыдущего.$$ \ln(a) = \ln\left(\frac{a}{b} \cdot b\right) = \ln\left(\frac{a}{b}\right) + \ln(b) $$Отсюда следует: $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$.

Логарифм степени: $\ln(x^p) = p \ln(x)$.Это свойство можно доказать, показав, что производные левой и правой частей равны.Производная левой части (используем правило дифференцирования сложной функции):$$ \frac{d}{dx}(\ln(x^p)) = \frac{1}{x^p} \cdot (x^p)' = \frac{1}{x^p} \cdot p x^{p-1} = \frac{p}{x} $$Производная правой части:$$ \frac{d}{dx}(p \ln(x)) = p \cdot (\ln x)' = p \cdot \frac{1}{x} = \frac{p}{x} $$Поскольку производные обеих функций равны, сами функции отличаются на константу: $\ln(x^p) = p \ln(x) + C$. Чтобы найти $C$, подставим $x=1$:$$ \ln(1^p) = p \ln(1) + C $$$$ \ln(1) = p \cdot 0 + C $$$$ 0 = C $$Следовательно, $C=0$ и $\ln(x^p) = p \ln(x)$ для любого действительного $p$ и $x > 0$.

Данное определение также позволяет ввести число Эйлера $e$ как единственное число, для которого $\ln(e) = 1$. То есть, $e$ — это такое число, что площадь под гиперболой $y=1/t$ на отрезке от $1$ до $e$ в точности равна единице.$$ \int_{1}^{e} \frac{1}{t} dt = 1 $$

Ответ: Натуральный логарифм положительного числа $x$ определяется как определённый интеграл $ \ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt $. Этот подход позволяет строго вывести все алгебраические и аналитические свойства логарифмической функции, такие как $\ln(1)=0$, $(\ln x)' = 1/x$, $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ и $\ln(x^p) = p \ln(x)$, а также определить число $e$. Геометрически $\ln(x)$ представляет собой площадь области под графиком функции $y=1/t$ в пределах от $t=1$ до $t=x$.

Решите неравенство:

28.37. a) $(x - 2)\log_4(x + 2) \ge 0$;

б) $(3 - x)\sqrt{\log_3(x + 5)} \le 0$.

а) $(x - 2)\log_{4}(x + 2) \geq 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x + 2 > 0$
$x > -2$

2. Воспользуемся методом рационализации. Знак выражения $\log_{a}f(x)$ при $a > 1$ совпадает со знаком выражения $f(x)-1$ на области определения логарифма.
В нашем случае $\log_{4}(x+2) = \log_{4}(x+2) - \log_{4}(1)$. Так как основание $4 > 1$, то знак $\log_{4}(x+2)$ совпадает со знаком выражения $(x+2-1)$.
Таким образом, исходное неравенство на его ОДЗ равносильно следующему:
$(x - 2)((x + 2) - 1) \geq 0$
$(x - 2)(x + 1) \geq 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = (x - 2)(x + 1)$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, выражение неотрицательно при $x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$.

4. Учтем ОДЗ ($x > -2$). Найдем пересечение множеств $(-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$ и $(-2, +\infty)$.
Пересечение дает нам итоговое решение: $x \in (-2, -1] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, -1] \cup [2, +\infty)$.

б) $(3 - x)\sqrt{\log_{3}(x + 5)} \leq 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\log_{3}(x + 5) \geq 0$
Так как основание логарифма $3 > 1$, это неравенство равносильно $x + 5 \geq 3^0$, то есть $x + 5 \geq 1$, откуда $x \geq -4$.
(При этом условие положительности аргумента логарифма $x+5>0$ выполняется автоматически, так как $x+5 \ge 1$).
Итак, ОДЗ: $x \in [-4, +\infty)$.

2. Решим неравенство на его ОДЗ.
На всей области определения $x \geq -4$ множитель $\sqrt{\log_{3}(x + 5)}$ является неотрицательным.
Неравенство $(3 - x) \cdot (\text{неотрицательное число}) \leq 0$ выполняется в двух случаях:

Случай 1: Произведение равно нулю.
Это происходит, когда один из множителей равен нулю.
- $\sqrt{\log_{3}(x + 5)} = 0 \implies \log_{3}(x + 5) = 0 \implies x + 5 = 1 \implies x = -4$. Это значение входит в ОДЗ.
- $3 - x = 0 \implies x = 3$. Это значение также входит в ОДЗ ($3 \ge -4$).
Таким образом, $x = -4$ и $x = 3$ являются решениями.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля.
Для этого множитель $\sqrt{\log_{3}(x + 5)}$ должен быть строго больше нуля, а множитель $(3 - x)$ — строго меньше нуля.
- $\sqrt{\log_{3}(x + 5)} > 0 \implies \log_{3}(x + 5) > 0 \implies x + 5 > 1 \implies x > -4$.
- $3 - x < 0 \implies x > 3$.
Оба условия должны выполняться одновременно, что дает $x > 3$.

3. Объединим все найденные решения.
Из первого случая имеем $x = -4$ и $x=3$. Из второго — $x > 3$.
Объединяя, получаем: $x=-4$ и $x \geq 3$.

Ответ: $x \in \{-4\} \cup [3, +\infty)$.

28.38. a) $(x - 3,1)\ln (x^2 - 10x + 22) \ge 0;$

б) $(x - 7,3)\ln (x^2 - 8x + 8) \le 0.$

а) $(x - 3,1)\ln(x^2 - 10x + 22) \ge 0$

Решим данное логарифмическое неравенство методом декомпозиции (обобщенным методом интервалов). Произведение двух множителей неотрицательно, когда они оба одного знака или один из множителей равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 10x + 22 > 0$

Для нахождения корней соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 10x + 22 = 0$ вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 100 - 88 = 12$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 5 \pm \sqrt{3}$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 10x + 22 > 0$ выполняется при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty; 5 - \sqrt{3}) \cup (5 + \sqrt{3}; +\infty)$.

2. Неравенство равносильно совокупности двух систем на ОДЗ:

Первая система (оба множителя неотрицательны):

$\begin{cases} x - 3,1 \ge 0 \\ \ln(x^2 - 10x + 22) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3,1 \\ x^2 - 10x + 22 \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3,1 \\ x^2 - 10x + 21 \ge 0 \end{cases}$

Корнями уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$ являются $x_1=3$ и $x_2=7$. Решением неравенства $x^2 - 10x + 21 \ge 0$ является $x \in (-\infty; 3] \cup [7; +\infty)$.

Пересечение решений системы дает: $\begin{cases} x \ge 3,1 \\ x \in (-\infty; 3] \cup [7; +\infty) \end{cases} \implies x \in [7; +\infty)$.

Данное решение полностью входит в ОДЗ, так как $7 > 5 + \sqrt{3}$ (поскольку $2 > \sqrt{3}$).

Вторая система (оба множителя неположительны):

$\begin{cases} x - 3,1 \le 0 \\ \ln(x^2 - 10x + 22) \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 3,1 \\ 0 < x^2 - 10x + 22 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 3,1 \\ x^2 - 10x + 21 \le 0 \end{cases}$

Решением неравенства $x^2 - 10x + 21 \le 0$ является $x \in [3; 7]$.

Пересечение решений системы дает: $\begin{cases} x \le 3,1 \\ x \in [3; 7] \end{cases} \implies x \in [3; 3,1]$.

Данное решение полностью входит в ОДЗ, так как $3,1 < 5 - \sqrt{3}$ (поскольку $5 - 3,1 = 1,9 = \sqrt{3,61}$, а $\sqrt{3,61} > \sqrt{3}$).

3. Объединяем решения, полученные в двух случаях.

Общее решение: $x \in [3; 3,1] \cup [7; +\infty)$.

Ответ: $x \in [3; 3,1] \cup [7; +\infty)$.

б) $(x - 7,3)\ln(x^2 - 8x + 8) \le 0$

Решим неравенство. Произведение двух множителей неположительно, когда они имеют разные знаки или один из множителей равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x^2 - 8x + 8 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 8 = 0$ через дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 - 32 = 32$

Корни: $x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому ОДЗ: $x \in (-\infty; 4 - 2\sqrt{2}) \cup (4 + 2\sqrt{2}; +\infty)$.

2. Неравенство равносильно совокупности двух систем на ОДЗ:

Первая система (множители разных знаков):

$\begin{cases} x - 7,3 \le 0 \\ \ln(x^2 - 8x + 8) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 7,3 \\ x^2 - 8x + 8 \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 7,3 \\ x^2 - 8x + 7 \ge 0 \end{cases}$

Корнями уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$ являются $x_1=1$ и $x_2=7$. Решением неравенства $x^2 - 8x + 7 \ge 0$ является $x \in (-\infty; 1] \cup [7; +\infty)$.

Пересечение решений системы дает: $\begin{cases} x \le 7,3 \\ x \in (-\infty; 1] \cup [7; +\infty) \end{cases} \implies x \in (-\infty; 1] \cup [7; 7,3]$.

Проверим полученные интервалы по ОДЗ: $4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2 \cdot 1,41 = 1,18$ и $4 + 2\sqrt{2} \approx 4 + 2,82 = 6,82$.

Интервал $(-\infty; 1]$ полностью входит в ОДЗ, так как $1 < 1,18$.

Интервал $[7; 7,3]$ полностью входит в ОДЗ, так как $7 > 6,82$.

Следовательно, решение в этом случае: $x \in (-\infty; 1] \cup [7; 7,3]$.

Вторая система (множители разных знаков):

$\begin{cases} x - 7,3 \ge 0 \\ \ln(x^2 - 8x + 8) \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 7,3 \\ 0 < x^2 - 8x + 8 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 7,3 \\ x^2 - 8x + 7 \le 0 \end{cases}$

Решением неравенства $x^2 - 8x + 7 \le 0$ является $x \in [1; 7]$.

Система $\begin{cases} x \ge 7,3 \\ x \in [1; 7] \end{cases}$ не имеет решений, так как множества $[7,3; +\infty)$ и $[1; 7]$ не пересекаются.

3. Решение исходного неравенства является решением, полученным в первом случае.

Общее решение: $x \in (-\infty; 1] \cup [7; 7,3]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [7; 7,3]$.

28.39. a) $(2^x - 3)(3x - 4) \le 0$;

б) $(3\log_3 x - 1)(3x - 4) \ge 0$.

а) Решим неравенство $(2^x - 3)(3x - 4) \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули каждого множителя. Для этого приравняем их к нулю:

$2^x - 3 = 0 \implies 2^x = 3 \implies x_1 = \log_2 3$.

$3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x_2 = 4/3$.

2. Сравним полученные корни $\log_2 3$ и $4/3$. Сравним значения $2^{\log_2 3} = 3$ и $2^{4/3} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{16}$. Так как $3 = \sqrt[3]{27}$ и $27 > 16$, то $3 > \sqrt[3]{16}$. Поскольку функция $y=2^x$ является возрастающей, из $3 > 2^{4/3}$ следует, что $\log_2 3 > 4/3$.

3. Отметим корни на числовой оси в порядке возрастания: $4/3$ и $\log_2 3$. Они разбивают ось на три интервала. Определим знак произведения $(2^x - 3)(3x - 4)$ в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=2$ (т.к. $\log_2 3 \approx 1.58$). Получим $(2^2-3)(3 \cdot 2 - 4) = 1 \cdot 2 = 2 > 0$. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах чередуются. Схема знаков: $(+), [4/3], (-), [\log_2 3], (+)$.

4. Неравенство имеет вид $\le 0$, поэтому искомым решением будет промежуток со знаком "минус", включая его концы.

Ответ: $[4/3; \log_2 3]$.

б) Решим неравенство $(3\log_3 x - 1)(3x - 4) \ge 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. На ОДЗ решим неравенство методом интервалов. Найдем нули множителей:

$3\log_3 x - 1 = 0 \implies \log_3 x = 1/3 \implies x_1 = 3^{1/3} = \sqrt[3]{3}$.

$3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x_2 = 4/3$.

3. Сравним корни $\sqrt[3]{3}$ и $4/3$. Возведем оба положительных числа в куб: $(\sqrt[3]{3})^3 = 3$ и $(4/3)^3 = 64/27 = 2\frac{10}{27}$. Так как $3 > 2\frac{10}{27}$, то $\sqrt[3]{3} > 4/3$.

4. Отметим ОДЗ и корни на числовой оси: $(0, ..., 4/3, ..., \sqrt[3]{3}, ...)$. Они разбивают ОДЗ на три интервала: $(0; 4/3)$, $(4/3; \sqrt[3]{3})$ и $(\sqrt[3]{3}; +\infty)$. Определим знак произведения на интервалах. Для $x > \sqrt[3]{3}$ (например, $x=3$), оба множителя положительны, произведение положительно. Так как кратность корней нечетная, знаки чередуются. Схема знаков на ОДЗ: $(0), (+), [4/3], (-), [\sqrt[3]{3}], (+)$.

5. Неравенство имеет вид $\ge 0$, поэтому решением будет объединение промежутков со знаком "плюс", включая концы, принадлежащие ОДЗ.

Ответ: $(0; 4/3] \cup [\sqrt[3]{3}; +\infty)$.

28.40. a) $(x + 3) \log_{\frac{1}{7}} x < 0;$

Б) $(x - 5) \sqrt{x + 1} < 0;$

В) $\frac{e^{3x - 1} - 1}{x + 8} > 0;$

Г) $x \sqrt{x + 7} < 0.$

а) Решим неравенство $(x + 3)\log_{\frac{1}{7}} x < 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.
2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя на ОДЗ.
- Первый множитель: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Этот корень не входит в ОДЗ. Заметим, что на всей ОДЗ (при $x > 0$) множитель $(x+3)$ всегда положителен.
- Второй множитель: $\log_{\frac{1}{7}} x = 0 \Rightarrow x = (\frac{1}{7})^0 = 1$.
3. Так как на ОДЗ множитель $(x+3)$ всегда положителен, то знак всего произведения $(x + 3)\log_{\frac{1}{7}} x$ совпадает со знаком множителя $\log_{\frac{1}{7}} x$. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} \log_{\frac{1}{7}} x < 0 \\ x > 0 \end{cases}$
4. Решим неравенство $\log_{\frac{1}{7}} x < 0$. Представим $0$ в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_{\frac{1}{7}} 1$.
$\log_{\frac{1}{7}} x < \log_{\frac{1}{7}} 1$.
Так как основание логарифма $\frac{1}{7}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 1$.
5. Данное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x - 5)\sqrt{x + 1} < 0$.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.
2. Значение выражения $\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательно ($\ge 0$).
- Если $\sqrt{x+1} = 0$, то есть $x = -1$. Подставив в неравенство, получим $(-1-5)\sqrt{-1+1} = -6 \cdot 0 = 0$. Неравенство $0 < 0$ является ложным. Значит, $x = -1$ не является решением.
- Если $\sqrt{x+1} > 0$, то есть $x > -1$. На этом множестве мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{x+1}$, не меняя знака неравенства:
$x - 5 < 0$
$x < 5$
3. Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с условием $x > -1$:
$\begin{cases} x < 5 \\ x > -1 \end{cases}$
Это соответствует интервалу $-1 < x < 5$.
Ответ: $x \in (-1, 5)$.

в) Решим неравенство $\frac{e^{3x-1} - 1}{x + 8} > 0$.

1. Найдем ОДЗ. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8$.
2. Воспользуемся методом рационализации (замены множителей). Знак выражения вида $a^{f(x)} - 1$ (где $a > 1$) совпадает со знаком показателя $f(x)$. В нашем случае основание $e \approx 2.718 > 1$, поэтому знак числителя $e^{3x-1} - 1$ совпадает со знаком выражения $3x-1$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему рациональному неравенству:
$\frac{3x - 1}{x + 8} > 0$.
3. Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
- Нуль числителя: $3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.
- Нуль знаменателя: $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$.
4. Отметим точки $-8$ и $\frac{1}{3}$ на числовой оси. Так как неравенство строгое, обе точки будут выколотыми. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -8)$, $(-8, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- при $x > \frac{1}{3}$ (например, $x=1$): $\frac{3(1)-1}{1+8} = \frac{2}{9} > 0$. Интервал подходит.
- при $-8 < x < \frac{1}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{3(0)-1}{0+8} = -\frac{1}{8} < 0$. Интервал не подходит.
- при $x < -8$ (например, $x=-9$): $\frac{3(-9)-1}{-9+8} = \frac{-28}{-1} = 28 > 0$. Интервал подходит.
5. Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$.

г) Решим неравенство $x\sqrt{x+7} < 0$.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x + 7 \ge 0 \Rightarrow x \ge -7$.
2. Левая часть неравенства является произведением двух множителей: $x$ и $\sqrt{x+7}$.
Множитель $\sqrt{x+7}$ на ОДЗ всегда неотрицателен.
- Рассмотрим случай $\sqrt{x+7} = 0$, то есть $x = -7$. Левая часть неравенства равна $-7 \cdot 0 = 0$. Неравенство $0 < 0$ неверно, поэтому $x=-7$ не является решением.
- Рассмотрим случай $\sqrt{x+7} > 0$, то есть $x > -7$. На этом множестве знак всего произведения $x\sqrt{x+7}$ определяется знаком первого множителя $x$.
Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы $x < 0$.
3. Итак, мы имеем систему из двух условий:
$\begin{cases} x > -7 \\ x < 0 \end{cases}$
Решением этой системы является интервал $-7 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-7, 0)$.

28.41. a) $\sqrt{x} \log_2 (x^2 - 8) > 0;$

б) $3x^2 - 19\sqrt{x^2 - 4} < 0;$

в) $\sqrt{-x} \log_{\frac{1}{8}} (100 - x^2) < 0;$

г) $(2^{x^2 - 5} - 0,5) \log_6 (4x + 1) > 0.$

а)

Решим неравенство $ \sqrt{x} \log_{2} (x^2 - 8) > 0 $.
Произведение двух множителей положительно, если оба множителя положительны.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 - 8 > 0 \end{cases} $
Из второго неравенства $ x^2 > 8 $, что означает $ x > \sqrt{8} $ или $ x < -\sqrt{8} $.
С учетом первого неравенства $ x \ge 0 $, получаем ОДЗ: $ x > \sqrt{8} $, то есть $ x > 2\sqrt{2} $.
Теперь вернемся к исходному неравенству. Оно равносильно системе:
$ \begin{cases} \sqrt{x} > 0 \\ \log_{2} (x^2 - 8) > 0 \end{cases} $
Из первого неравенства получаем $ x > 0 $.
Решим второе неравенство. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, то:
$ x^2 - 8 > 2^0 $
$ x^2 - 8 > 1 $
$ x^2 - 9 > 0 $
$ (x-3)(x+3) > 0 $
Решением этого неравенства является $ x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty) $.
Теперь найдем пересечение всех полученных условий:
$ \begin{cases} x > 2\sqrt{2} \text{ (ОДЗ)} \\ x > 0 \\ x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty) \end{cases} $
Так как $ 3 = \sqrt{9} $, а $ 2\sqrt{2} = \sqrt{8} $, то $ 3 > 2\sqrt{2} $.
Пересечением всех условий будет интервал $ (3, \infty) $.
Ответ: $ x \in (3, \infty) $.

б)

Решим неравенство $ 3^{x^2-19} \sqrt{x^2 - 4} < 0 $.
Рассмотрим каждый множитель в левой части неравенства.
Первый множитель $ 3^{x^2-19} $ является показательной функцией с основанием $ 3 > 1 $. Такая функция всегда принимает только положительные значения, то есть $ 3^{x^2-19} > 0 $ при любом действительном $ x $.
Второй множитель $ \sqrt{x^2 - 4} $ является арифметическим квадратным корнем, который по определению всегда неотрицателен, то есть $ \sqrt{x^2 - 4} \ge 0 $ (в своей области определения $ x^2-4 \ge 0 $).
Таким образом, левая часть неравенства представляет собой произведение положительного числа на неотрицательное. Результат такого произведения всегда будет неотрицательным (больше или равен нулю).
Следовательно, левая часть неравенства никогда не может быть строго меньше нуля.
Ответ: нет решений.

в)

Решим неравенство $ \sqrt{-x} \log_{\frac{1}{8}} (100 - x^2) < 0 $.
Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки.
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} -x \ge 0 \\ 100 - x^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 0 \\ x^2 < 100 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 0 \\ -10 < x < 10 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (-10, 0] $.
Множитель $ \sqrt{-x} $ всегда неотрицателен ($ \ge 0 $). Для того чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо, чтобы $ \sqrt{-x} > 0 $, то есть $ x < 0 $.
При этом условии $ \sqrt{-x} $ положителен. Тогда для выполнения неравенства второй множитель должен быть отрицательным:
$ \log_{\frac{1}{8}} (100 - x^2) < 0 $.
Так как основание логарифма $ \frac{1}{8} < 1 $, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$ 100 - x^2 > (\frac{1}{8})^0 $
$ 100 - x^2 > 1 $
$ 99 > x^2 \implies x^2 < 99 $
$ -\sqrt{99} < x < \sqrt{99} $, что то же самое, что и $ -3\sqrt{11} < x < 3\sqrt{11} $.
Объединим все условия:
$ \begin{cases} x \in (-10, 0] \text{ (ОДЗ)} \\ x < 0 \\ -3\sqrt{11} < x < 3\sqrt{11} \end{cases} $
Так как $ \sqrt{81} < \sqrt{99} < \sqrt{100} $, то $ 9 < 3\sqrt{11} < 10 $.
Пересечением всех трех условий является интервал $ (-3\sqrt{11}, 0) $.
Ответ: $ x \in (-3\sqrt{11}, 0) $.

г)

Решим неравенство $ (2^{x^2-5} - 0,5) \log_6 (4x + 1) > 0 $.
Применим метод интервалов.
Найдем ОДЗ: $ 4x + 1 > 0 \implies 4x > -1 \implies x > -1/4 $.
Найдем нули каждого множителя:
1) $ 2^{x^2-5} - 0,5 = 0 \implies 2^{x^2-5} = 0,5 \implies 2^{x^2-5} = 2^{-1} $
$ x^2 - 5 = -1 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2 $.
Корень $ x_2 = -2 $ не входит в ОДЗ.
2) $ \log_6 (4x + 1) = 0 \implies 4x + 1 = 6^0 \implies 4x + 1 = 1 \implies 4x = 0 \implies x_3 = 0 $.
Нанесем на числовую прямую ОДЗ и полученные корни $ x=0 $ и $ x=2 $.
Получим интервалы: $ (-1/4, 0) $, $ (0, 2) $, $ (2, \infty) $.
Определим знаки произведения на каждом интервале:
- Интервал $ (-1/4, 0) $: Возьмем $ x = -1/8 $.
$ 2^{(-1/8)^2-5} - 0.5 = 2^{1/64-5} - 0.5 < 0 $.
$ \log_6(4(-1/8)+1) = \log_6(1/2) < 0 $.
Произведение (–) * (–) = (+). Интервал подходит.
- Интервал $ (0, 2) $: Возьмем $ x = 1 $.
$ 2^{1^2-5} - 0.5 = 2^{-4} - 0.5 = 1/16 - 0.5 < 0 $.
$ \log_6(4(1)+1) = \log_6(5) > 0 $.
Произведение (–) * (+) = (–). Интервал не подходит.
- Интервал $ (2, \infty) $: Возьмем $ x = 3 $.
$ 2^{3^2-5} - 0.5 = 2^4 - 0.5 = 15.5 > 0 $.
$ \log_6(4(3)+1) = \log_6(13) > 0 $.
Произведение (+) * (+) = (+). Интервал подходит.
Объединяем подходящие интервалы.
Ответ: $ x \in (-1/4, 0) \cup (2, \infty) $.

28.42. а) $\frac{(x - 3)\left(\frac{1}{3^x - 4} + 0,3\right)}{x + 2} \ge 0;$

б) $\frac{(x + 5)\left(\frac{1}{2^x + 1} + 0,2\right)}{x - 2} \le 0.$

Решим неравенство $\frac{(x-3)\left(\frac{1}{3^{x-4}} + 0,3\right)}{x+2} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неравенства знаменателя нулю: $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

Рассмотрим множитель в числителе $\left(\frac{1}{3^{x-4}} + 0,3\right)$. Выражение $\frac{1}{3^{x-4}}$ можно представить в виде $3^{4-x}$. Так как показательная функция $a^y$ (при $a > 0$) всегда положительна, то $3^{4-x} > 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, сумма $\left(3^{4-x} + 0,3\right)$ также всегда положительна.

Поскольку множитель $\left(\frac{1}{3^{x-4}} + 0,3\right)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на это положительное число, не меняя знака неравенства. Неравенство упрощается до вида:

$\frac{x-3}{x+2} \ge 0$

Для решения этого рационального неравенства применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка включается в решение (закрашенная точка на оси).
Нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Эта точка исключается из решения (выколотая точка), так как на ноль делить нельзя.

Отметим точки $-2$ и $3$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала. Определим знак выражения $\frac{x-3}{x+2}$ на каждом из них:
1. При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $\frac{-3-3}{-3+2} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Знак «+».
2. При $x \in (-2, 3)$ (например, $x=0$): $\frac{0-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0$. Знак «-».
3. При $x \in (3, \infty)$ (например, $x=4$): $\frac{4-3}{4+2} = \frac{1}{6} > 0$. Знак «+».

По условию, нам нужно найти, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это соответствует интервалам со знаком «+» и точке, где числитель равен нулю.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup [3, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup [3, \infty)$.

Решим неравенство $\frac{(x+5)\left(\frac{1}{2^{x+1}} + 0,2\right)}{x-2} \le 0$.

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Рассмотрим множитель $\left(\frac{1}{2^{x+1}} + 0,2\right)$. Выражение $2^{x+1}$ всегда положительно для любого $x$, а значит и обратная величина $\frac{1}{2^{x+1}}$ также всегда положительна. Сумма двух положительных чисел, $\frac{1}{2^{x+1}}$ и $0,2$, всегда является положительным числом.

Так как множитель $\left(\frac{1}{2^{x+1}} + 0,2\right)$ строго больше нуля, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя его знака. В результате получаем эквивалентное неравенство:

$\frac{x+5}{x-2} \le 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 5 = 0 \implies x = -5$. Эта точка является решением, так как неравенство нестрогое ($\le$).
Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Эта точка исключается из решения (выколотая точка).

Нанесем точки $-5$ и $2$ на числовую ось, которые разделят ее на три интервала. Определим знак дроби $\frac{x+5}{x-2}$ на каждом из интервалов:
1. При $x \in (-\infty, -5)$ (например, $x=-6$): $\frac{-6+5}{-6-2} = \frac{-1}{-8} > 0$. Знак «+».
2. При $x \in (-5, 2)$ (например, $x=0$): $\frac{0+5}{0-2} = -\frac{5}{2} < 0$. Знак «-».
3. При $x \in (2, \infty)$ (например, $x=3$): $\frac{3+5}{3-2} = 8 > 0$. Знак «+».

Согласно знаку неравенства ($\le$), нас интересует промежуток, где выражение отрицательно, а также точка, где оно равно нулю.

Следовательно, решением является промежуток $x \in [-5, 2)$.

Ответ: $[-5, 2)$.

28.43. a) $(x^2 - 2x)(\tan^2 x + 2^x + 1) \le 0;$

б) $(x^2 + 4x)(\cot^2 x + 3^x - 1) \le 0.$

а)

Рассмотрим неравенство $(x^2 - 2x)(\text{tg}^2 x + 2^x + 1) \le 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение содержит $\text{tg} x$, поэтому $\cos x \ne 0$, что означает $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второй множитель в неравенстве: $(\text{tg}^2 x + 2^x + 1)$.

Для любого $x$ из ОДЗ выполняются следующие условия:

• Квадрат тангенса всегда неотрицателен: $\text{tg}^2 x \ge 0$.
• Показательная функция всегда положительна: $2^x > 0$.

Таким образом, сумма $\text{tg}^2 x + 2^x + 1$ всегда будет строго положительной, так как она является суммой неотрицательного числа и числа, которое больше 1 (поскольку $2^x+1>1$).

Поскольку второй множитель $(\text{tg}^2 x + 2^x + 1)$ всегда положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак неравенства:

$x^2 - 2x \le 0$

Разложим левую часть на множители:

$x(x - 2) \le 0$

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $[0, 2]$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, то есть исключить из отрезка $[0, 2]$ точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие значения $n$ дают точки, попадающие в отрезок $[0, 2]$:

• При $n=0$: $x = \frac{\pi}{2}$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем $x \approx 1.57$. Это значение находится внутри отрезка $[0, 2]$.
• При $n=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} > 2$.
• При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} < 0$.

Следовательно, из отрезка $[0, 2]$ нужно исключить только одну точку: $x = \frac{\pi}{2}$.

В итоге решение представляет собой объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 2]$.

б)

Рассмотрим неравенство $(x^2 + 4x)(\text{ctg}^2 x + 3^{x-1}) \le 0$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение содержит $\text{ctg} x$, поэтому $\sin x \ne 0$, что означает $x \ne \pi n$ для любого целого $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второй множитель: $(\text{ctg}^2 x + 3^{x-1})$.

Для любого $x$ из ОДЗ выполняются следующие условия:

• Квадрат котангенса всегда неотрицателен: $\text{ctg}^2 x \ge 0$.
• Показательная функция всегда положительна: $3^{x-1} > 0$.

Сумма неотрицательного и положительного числа всегда строго положительна. Следовательно, множитель $(\text{ctg}^2 x + 3^{x-1})$ всегда больше нуля.

Так как второй множитель всегда положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя его знака:

$x^2 + 4x \le 0$

Разложим левую часть на множители:

$x(x + 4) \le 0$

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $[-4, 0]$.

Теперь учтем ОДЗ, исключив из отрезка $[-4, 0]$ точки вида $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие значения $n$ дают точки, попадающие в отрезок $[-4, 0]$:

• При $n=0$: $x = 0$. Эта точка является правой границей отрезка.
• При $n=-1$: $x = -\pi$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем $x \approx -3.14$. Это значение находится внутри отрезка $[-4, 0]$.
• При $n=-2$: $x = -2\pi \approx -6.28$, что меньше, чем -4, и не попадает в отрезок.

Таким образом, из отрезка $[-4, 0]$ необходимо исключить точки $x=0$ и $x=-\pi$.

В итоге решение представляет собой объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in [-4, -\pi) \cup (-\pi, 0)$.

28.44. a) $\frac{\sqrt{2x+4}}{2^x-3} \ge \frac{\sqrt{2x+4}}{7^x-3}$;

б) $\frac{\sqrt{7+6x}}{0,2^{x+1}} \le \frac{\sqrt{7+6x}}{0,3^{x+1}}$.

а)

Исходное неравенство:

$\frac{\sqrt{2x+4}}{2^x-3} \ge \frac{\sqrt{2x+4}}{7^x-3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$ \begin{cases} 2x+4 \ge 0 \\ 2^x-3 \ne 0 \\ 7^x-3 \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ 2^x \ne 3 \\ 7^x \ne 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ne \log_2 3 \\ x \ne \log_7 3 \end{cases} $

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{\sqrt{2x+4}}{2^x-3} - \frac{\sqrt{2x+4}}{7^x-3} \ge 0$

Вынесем общий множитель $\sqrt{2x+4}$ за скобки:

$\sqrt{2x+4} \left( \frac{1}{2^x-3} - \frac{1}{7^x-3} \right) \ge 0$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\sqrt{2x+4} \left( \frac{7^x-3 - (2^x-3)}{(2^x-3)(7^x-3)} \right) \ge 0$

$\sqrt{2x+4} \cdot \frac{7^x - 2^x}{(2^x-3)(7^x-3)} \ge 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{2x+4} = 0$.

Это равенство выполняется при $2x+4=0$, то есть $x=-2$. Это значение входит в ОДЗ ($ -2 \ge -2 $), и знаменатели при $x=-2$ не равны нулю. При $x=-2$ неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$. Следовательно, $x=-2$ является решением.

Случай 2: $\sqrt{2x+4} > 0$.

Это условие выполняется при $x > -2$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{2x+4}$:

$\frac{7^x - 2^x}{(2^x-3)(7^x-3)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателей:

1. $7^x - 2^x = 0 \implies 7^x = 2^x \implies (\frac{7}{2})^x = 1 \implies x=0$.

2. $2^x - 3 = 0 \implies 2^x = 3 \implies x=\log_2 3$.

3. $7^x - 3 = 0 \implies 7^x = 3 \implies x=\log_7 3$.

Расположим эти точки на числовой оси, учитывая, что $0 < \log_7 3 < 1$ и $1 < \log_2 3 < 2$. Порядок точек: $0, \log_7 3, \log_2 3$.

Определим знаки выражения на полученных интервалах:

• При $x > \log_2 3$ (например, $x=2$): $\frac{7^2-2^2}{(2^2-3)(7^2-3)} = \frac{+}{(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $\log_7 3 < x < \log_2 3$ (например, $x=1$): $\frac{7^1-2^1}{(2^1-3)(7^1-3)} = \frac{+}{(-)(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $0 < x < \log_7 3$ (например, $x=0.5$): $\frac{7^{0.5}-2^{0.5}}{(2^{0.5}-3)(7^{0.5}-3)} = \frac{+}{(-)(-)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{7^{-1}-2^{-1}}{(2^{-1}-3)(7^{-1}-3)} = \frac{-}{(-)(-)} < 0$. Интервал не подходит.

Решением для второго случая ($x > -2$) является объединение промежутков, где выражение неотрицательно: $x \in [0, \log_7 3) \cup (\log_2 3, \infty)$. Точка $x=0$ включена, так как неравенство нестрогое, а точки $\log_7 3$ и $\log_2 3$ исключены, так как они обращают знаменатель в ноль.

Объединим решения из обоих случаев: $x=-2$ и $x \in [0, \log_7 3) \cup (\log_2 3, \infty)$. Все эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [0, \log_7 3) \cup (\log_2 3, \infty)$.

б)

Исходное неравенство:

$\frac{\sqrt{7+6x}}{0,2^{x+1}} \le \frac{\sqrt{7+6x}}{0,3^{x+1}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$7+6x \ge 0 \implies 6x \ge -7 \implies x \ge -\frac{7}{6}$.

Знаменатели $0,2^{x+1}$ и $0,3^{x+1}$ являются показательными функциями с положительным основанием, поэтому они всегда положительны и не равны нулю.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{\sqrt{7+6x}}{0,2^{x+1}} - \frac{\sqrt{7+6x}}{0,3^{x+1}} \le 0$

Вынесем общий множитель $\sqrt{7+6x}$ за скобки:

$\sqrt{7+6x} \left( \frac{1}{0,2^{x+1}} - \frac{1}{0,3^{x+1}} \right) \le 0$

Преобразуем выражение в скобках, учитывая, что $0,2 = \frac{1}{5}$ и $0,3 = \frac{3}{10}$:

$\sqrt{7+6x} \left( \left(\frac{1}{0,2}\right)^{x+1} - \left(\frac{1}{0,3}\right)^{x+1} \right) \le 0$

$\sqrt{7+6x} \left( 5^{x+1} - \left(\frac{10}{3}\right)^{x+1} \right) \le 0$

Произведение двух множителей неположительно. Первый множитель $\sqrt{7+6x}$ всегда неотрицателен в своей области определения.

Следовательно, неравенство выполняется в двух случаях:

1. Первый множитель равен нулю: $\sqrt{7+6x}=0 \implies x = -\frac{7}{6}$. Это значение входит в ОДЗ, поэтому является решением.

2. Первый множитель строго положителен ($\sqrt{7+6x}>0$, т.е. $x > -\frac{7}{6}$), а второй множитель неположителен:

$5^{x+1} - \left(\frac{10}{3}\right)^{x+1} \le 0$

$5^{x+1} \le \left(\frac{10}{3}\right)^{x+1}$

Разделим обе части на $\left(\frac{10}{3}\right)^{x+1} > 0$:

$\frac{5^{x+1}}{(\frac{10}{3})^{x+1}} \le 1$

$\left(\frac{5 \cdot 3}{10}\right)^{x+1} \le 1$

$\left(\frac{3}{2}\right)^{x+1} \le 1$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей. Неравенство для степеней равносильно неравенству для показателей:

$x+1 \le 0 \implies x \le -1$.

Объединим результат $x \le -1$ с условием этого случая $x > -\frac{7}{6}$. Так как $-\frac{7}{6} \approx -1,17$, получаем интервал $x \in (-\frac{7}{6}, -1]$.

Теперь объединим решения из обоих случаев: $x = -\frac{7}{6}$ и $x \in (-\frac{7}{6}, -1]$.

Итоговое решение: $x \in [-\frac{7}{6}, -1]$.

Ответ: $x \in [-\frac{7}{6}, -1]$.

28.45. а) $(\sin^2 x + 1)(\lg (2x - 3) - 2) \le 0;$

б) $(\sqrt{6x - 1} + 5)(5^{x^2 - 1} - 0.2) > 0;$

в) $\cos x(2^{x+3} + 3x - 7) \ge 0;$

г) $(2 - \sqrt{3x + 1}) (\log^2_{0.5} (3x - 6) + 2) < 0.$

а)

Решим неравенство $(\sin^2 x + 1)(\lg(2x - 3) - 2) \le 0$.
Первый множитель $(\sin^2 x + 1)$ всегда положителен. Это следует из того, что область значений функции синус $[-1, 1]$, значит $\sin^2 x$ принимает значения от 0 до 1, а выражение $\sin^2 x + 1$ принимает значения от 1 до 2. Поскольку $(\sin^2 x + 1) > 0$ для любого значения $x$, мы можем разделить обе части неравенства на этот множитель, не меняя знака неравенства: $\lg(2x - 3) - 2 \le 0$.
При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент логарифма должен быть строго положителен.
$2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > 1,5$.
Теперь решим упрощенное неравенство:
$\lg(2x - 3) \le 2$
По определению десятичного логарифма ($\lg a = \log_{10} a$), представим 2 как $\lg 10^2 = \lg 100$.
$\lg(2x - 3) \le \lg 100$
Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$2x - 3 \le 100$
$2x \le 103$
$x \le 51,5$.
Объединим полученное решение с ОДЗ ($x > 1,5$): $1,5 < x \le 51,5$.
Таким образом, решение неравенства есть промежуток $(1,5; 51,5]$.

Ответ: $x \in (1,5; 51,5]$.

б)

Решим неравенство $(\sqrt{6x - 1} + 5)(5^{x^2 - 1} - 0,2) > 0$.
Рассмотрим первый множитель $(\sqrt{6x - 1} + 5)$.
ОДЗ для квадратного корня: $6x - 1 \ge 0 \implies 6x \ge 1 \implies x \ge 1/6$.
На всей ОДЗ выражение $\sqrt{6x - 1} \ge 0$, следовательно $\sqrt{6x - 1} + 5 \ge 5$.
Значит, первый множитель всегда положителен.
Разделим обе части неравенства на положительный множитель $(\sqrt{6x - 1} + 5)$:
$5^{x^2 - 1} - 0,2 > 0$
$5^{x^2 - 1} > 0,2$
Представим 0,2 в виде степени с основанием 5: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
$5^{x^2 - 1} > 5^{-1}$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей, и при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 1 > -1$
$x^2 > 0$
Это неравенство верно для всех действительных $x$, кроме $x = 0$.
Теперь учтем ОДЗ, найденную ранее: $x \ge 1/6$.
Пересечением решений $x \ge 1/6$ и $x \neq 0$ является промежуток $[1/6; +\infty)$, так как точка $x=0$ не входит в этот промежуток.

Ответ: $x \in [1/6; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $\cos x(2^{x+3} + 3^{x-7}) \ge 0$.
Рассмотрим второй множитель $(2^{x+3} + 3^{x-7})$.
Выражения $2^{x+3}$ и $3^{x-7}$ являются показательными функциями, которые всегда принимают только положительные значения ($2^{x+3} > 0$ и $3^{x-7} > 0$ для любого $x$).
Сумма двух положительных чисел также всегда положительна, поэтому $(2^{x+3} + 3^{x-7}) > 0$.
Разделим обе части неравенства на этот положительный множитель, сохранив знак неравенства:
$\cos x \ge 0$
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства являются значения $x$, для которых косинус неотрицателен. Это происходит, когда угол $x$ находится в I и IV координатных четвертях.
На единичной окружности это соответствует дуге от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.
С учетом периодичности функции косинуса, общее решение неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $(2 - \sqrt{3x + 1})(\log^2_{0,5}(3x - 6) + 2) < 0$.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным, а подкоренное выражение — неотрицательным.
1) $3x - 6 > 0 \implies 3x > 6 \implies x > 2$.
2) $3x + 1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -1/3$.
Пересечением этих двух условий является $x > 2$.
Рассмотрим второй множитель $(\log^2_{0,5}(3x - 6) + 2)$.
Выражение $\log^2_{0,5}(3x - 6)$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $\log^2_{0,5}(3x - 6) \ge 0$.
Следовательно, $\log^2_{0,5}(3x - 6) + 2 \ge 2$, то есть второй множитель всегда строго положителен.
Разделим обе части исходного неравенства на этот положительный множитель:
$2 - \sqrt{3x + 1} < 0$
$2 < \sqrt{3x + 1}$
Обе части неравенства положительны (на ОДЗ $x>2$ корень $\sqrt{3x+1} > \sqrt{3\cdot2+1} = \sqrt{7} > 2$), поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$4 < 3x + 1$
$3 < 3x$
$x > 1$
Найдем пересечение полученного решения $x > 1$ с ОДЗ $x > 2$.
Итоговым решением является промежуток $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.