Номер 1, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Вычисляем площади. Формула Пика, палетка, определённый интеграл.

Существует несколько методов вычисления площади плоских фигур. Рассмотрим три из них: формулу Пика, метод палетки и вычисление с помощью определённого интеграла.

Формула Пика

Формула Пика — это элегантный способ нахождения площади многоугольника, все вершины которого расположены в узлах целочисленной решётки (то есть имеют целочисленные координаты). Формула связывает площадь многоугольника с количеством целочисленных точек внутри него и на его границе.

Формула выглядит следующим образом:

$S = В + \frac{Г}{2} - 1$

где:
$S$ — площадь многоугольника;
$В$ — количество целочисленных точек, находящихся строго внутри многоугольника;
$Г$ — количество целочисленных точек, лежащих на границе многоугольника (включая вершины).

Пример:
Найдём площадь треугольника с вершинами в точках A(1, 1), B(4, 2) и C(2, 5).
1. Находим количество граничных точек ($Г$). Это только 3 вершины: A, B, и C. На отрезках между ними нет других целочисленных точек. Таким образом, $Г = 3$.
2. Находим количество внутренних точек ($В$). Это точки с целыми координатами, лежащие внутри треугольника. Путем проверки можно установить, что это точки (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3). Всего $В = 5$ точек.
3. Применяем формулу Пика:
$S = 5 + \frac{3}{2} - 1 = 5 + 1.5 - 1 = 5.5$ квадратных единиц.
Этот результат можно проверить, например, по формуле площади Гаусса, и он окажется верным.

Ответ: Площадь многоугольника с целочисленными вершинами вычисляется по формуле $S = В + \frac{Г}{2} - 1$, где $В$ — число внутренних целочисленных точек, $Г$ — число граничных целочисленных точек.

Палетка

Метод палетки — это простой, но приблизительный способ оценки площади фигуры произвольной формы. Палетка представляет собой прозрачную плёнку или лист бумаги, расчерченный на одинаковые квадраты известной площади (например, 1 см²).

Алгоритм вычисления площади с помощью палетки следующий: сначала палетку накладывают на фигуру. Затем подсчитывают количество $N$ целых квадратов, которые полностью оказались внутри контура фигуры, и количество $K$ квадратов, которые контур фигуры пересекает (частично покрытые квадраты). Приближённая площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S \approx (N + \frac{K}{2}) \cdot S_0$

где $S_0$ — площадь одного квадрата палетки.

Логика метода заключается в предположении, что в среднем линия границы отсекает от частично покрытых квадратов половину их площади. Точность метода повышается с уменьшением размера квадратов палетки.

Ответ: Приближенная площадь фигуры находится по формуле $S \approx (N + \frac{K}{2}) \cdot S_0$, где $N$ — число целых клеток внутри фигуры, $K$ — число клеток, пересекаемых границей фигуры, $S_0$ — площадь одной клетки.

Определённый интеграл

В математическом анализе определённый интеграл является мощным инструментом для точного вычисления площадей криволинейных фигур.

1. Площадь криволинейной трапеции
Если фигура (криволинейная трапеция) ограничена сверху графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, снизу — осью абсцисс (Ox), а по бокам — прямыми $x=a$ и $x=b$, то её площадь равна:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Геометрически это означает нахождение предела суммы площадей бесконечно узких прямоугольников, на которые разбивается фигура.

2. Площадь фигуры между двумя кривыми
Если фигура ограничена сверху графиком функции $y=f(x)$, а снизу — графиком функции $y=g(x)$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$, то её площадь вычисляется как разность площадей:

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx$

Пример:
Вычислим площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2+1$, осью Ox и прямыми $x=0$ и $x=3$.
Так как функция $y=x^2+1$ неотрицательна на отрезке $[0, 3]$, используем первую формулу:
$S = \int_{0}^{3} (x^2 + 1) \,dx$
Находим первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = \frac{x^3}{3} + x$.
По формуле Ньютона-Лейбница, подставляем пределы интегрирования:
$S = F(3) - F(0) = (\frac{3^3}{3} + 3) - (\frac{0^3}{3} + 0) = (\frac{27}{3} + 3) - 0 = (9 + 3) = 12$
Площадь равна 12 квадратным единицам.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком $y=f(x)$ ($f(x) \ge 0$), осью Ox и прямыми $x=a, x=b$, равна $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$. Площадь фигуры между кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ ($f(x) \ge g(x)$) на отрезке $[a, b]$ равна $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx$.