Номер 5, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Примените формулу Ньютона – Лейбница для вычисления интеграла:

a) $\int_1^e \frac{dx}{x}$;

б) $\int_1^2 \frac{dx}{x^2}$;

в) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$;

г) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x dx$;

д) $\int_1^3 3x^2 dx$.

а)

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{e} \frac{dx}{x}$ используем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{x}$.

Первообразная для $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x|$. Поскольку пределы интегрирования $1$ и $e$ положительны, модуль можно опустить.

Подставляем пределы интегрирования $a=1$ и $b=e$:

$\int_{1}^{e} \frac{dx}{x} = [\ln x]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1)$.

Так как натуральный логарифм основания $e$ равен $1$ ($\ln(e) = 1$) и логарифм единицы равен нулю ($\ln(1) = 0$), получаем:

$1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2}$.

Подынтегральную функцию можно записать в виде степени: $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.

Найдем первообразную, используя формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=1$ и $b=2$:

$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2} = [-\frac{1}{x}]_{1}^{2} = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в)

Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = \sin x$.

Первообразная для $f(x) = \sin x$ есть $F(x) = -\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=0$ и $b=\frac{\pi}{2}$:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0))$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$(-0) - (-1) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: $1$.

г)

Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = \cos x$.

Первообразная для $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=\frac{\pi}{2}$ и $b=\frac{3\pi}{2}$:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})$.

Так как $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$-1 - 1 = -2$.

Ответ: $-2$.

д)

Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} 3x^2 dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = 3x^2$.

Найдем первообразную, используя формулу для степенной функции:

$F(x) = \int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=1$ и $b=3$:

$\int_{1}^{3} 3x^2 dx = [x^3]_{1}^{3} = 3^3 - 1^3$.

Выполним вычисления:

$27 - 1 = 26$.

Ответ: $26$.